Matemáticas aplicadas

75. (Tasa de desempleo) Durante una crisis económica reciente,
el porcentaje de desempleados creció a razón de
P′(t)
fórmula
0.4e
0.1t
(1 e
0.1t
) 2
donde t es el tiempo en meses. Dado que en t 0 había 4%
de desempleados, ¿qué porcentaje estaba desempleado:
a) 10 meses después b) 20 meses después
76. (Recurso natural) Actualmente una compañía maderera
tiene una reserva de 100 millones de pies de madera en tablones.
La razón a la cual esta compañía corta y vende la
madera es R(t) 3e 0.06t millones de pies por año, donde t
es el tiempo en años medidos a partir de ahora. Calcule la
reserva que quedará después de t años. ¿Cuántos años durará
la reserva sin ninguna reforestación
77. (Producción petrolífera) La razón de producción de un pozo
petrolero en barriles diarios varía de acuerdo con la
P′(t)
1,200,000
(t 1600)
3/2
donde t es el tiempo (en días) a partir del inicio de la producción.
Calcule la producción total hasta el tiempo t.
También encuentre la producción total posible, esto es, lím
t→q
P(t).
78. (Crecimiento de población) Una población de bacterias está
creciendo de tal manera que la razón de crecimiento en
el tiempo t (medido en horas), es igual a 1000(1 3t) 1 .
Si el tamaño de la población en t 0 es 1000, ¿cuál será
su tamaño después de 4 horas
79. (Reacción de una droga) La velocidad de producción de
anticuerpos t horas después de inyectar un suero está dada
por f(t) 10t/(t 2 9). Encuentre el valor de t en el cual
f(t) es el máximo y el número total de anticuerpos producidos
hasta ese tiempo.
15-3 TABLAS DE INTEGRALES
En la sección previa, presentamos el método de sustitución, por medio del cual ciertas
integrales complejas pueden reducirse a una de las tres integrales estándar listadas
en la sección 15-1. Aparte del método de sustitución, existen otras técnicas que
son de utilidad cuando se requiere evaluar integrales, una de éstas se expondrá en la
sección 15-4.
En general, la evaluación de integrales es una tarea que requiere considerable
destreza y a menudo ingenio. La variedad de métodos de que se dispone para este
fin es una indicación de este hecho. Más aún, no es posible formular reglas contundentes
y rápidas acerca de que tal método o sustitución funcionará en una situación
dada, sino que es necesario desarrollar a través de la experiencia una intuición de
cuál método es probablemente el más conveniente.
Al afrontar estas dificultades, la manera apropiada de evaluar integrales es
usando una tabla de integrales. Una tabla de integrales consta de una lista de un
gran número de integrales, junto con sus valores. Para evaluar una integral determinada,
sólo es necesario extraer la respuesta de la tabla, sustituyendo los valores
de cualesquiera constantes que sean necesarias. Existe un buen número de tales tablas,
algunas más completas que otras; en el apéndice II aparece una tabla de integrales
breve; sin embargo, es lo bastante completa para evaluar todas las integrales
que aparecen en nuestros ejemplos y ejercicios.
Las integrales de esta tabla están clasificadas de acuerdo con ciertos encabezados
con la finalidad de facilitar su uso. Por ejemplo, todas las integrales en que
aparece un factor de la forma ax b están listadas juntas y todos los integrandos
en que aparece x 2 a 2 también están listados juntos, así como aquellos en que
intervienen funciones exponenciales, etcétera.
1
EJEMPLO 1 Calcule dx
(4 x2 ) 3/2
636 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN