Matemáticas aplicadas

No necesitamos aplicar la fórmula del cociente para evaluar z/y, dado que
el denominador del cociente sólo es función de x, y es constante por lo que a la derivación
parcial con respecto a y se refiere.
z
z
☛ 6. Calcule y para las
x y
funciones
a) z x 2 y – 3xy 2
b) z y ln(x y)
z
y y x2 y
2
ln x
1
(x 2 y 2 )
ln x y
1
2y
(0 2y) ☛ 6
ln x
l n x
En estos ejemplos puede advertirse que el cálculo de las derivadas parciales
de una función de dos variables, en esencia, no difiere de la derivación de una función
de una variable. Sólo debemos recordar que cuando calculamos la derivada
parcial con respecto a una de las variables, manejamos la otra variable como una
constante, luego derivamos en la forma acostumbrada.
La derivada parcial z/x es en sí misma una función de x y y; en consecuencia,
podemos calcular sus derivadas parciales con respecto a x y a y. Éstas se
denominan derivadas parciales de segundo orden de z, y se utiliza la siguiente notación:
2
z
x2
x
z
x y
2z
y x
y
z
x
De manera similar, z/y puede derivarse con respecto a x y a y, dando dos derivadas
parciales más de segundo orden:
2
z
y2
y
z
y y
2z
x y
x
z
y
Las dos derivadas 2 z/x y y 2 z/y x a menudo se denominan derivadas
parciales mixtas de segundo orden. A condición de que estas derivadas parciales mixtas
sean funciones continuas de x y y, son iguales entre sí,
2z
2z
x y
y x
EJEMPLO 4 Calcule todas las derivadas de segundo orden de la función z
x 2 y 2
Solución En el ejemplo 2 probamos que
z
Respuestas a) 2xy 3y 2 ,
x
z
x 2 6xy
y
z
y
b) ,
x x y
z
y
ln (x y)
y
x y
z
x
x x 2
y 2
para esta función. Se sigue de manera similar que
z
x
y x 2
y 2
SECCIÓN 17-2 DERIVADAS PARCIALES 733