Matemáticas aplicadas

Pero, del análisis anterior, ya sabemos que la solución general de esta ecuación es
z Ce kt . Por tanto, como y z – b/k, la solución general para y es
b
y Ce kt (4)
k
Nuevamente, observe la presencia de la constante arbitraria. Podemos resumir este
resultado como sigue:
La ecuación diferencial dy/dt ky + b, en donde k y b son constantes dadas, tiene
la solución general y Ce kt – b/k, en donde C es una constante arbitraria.
EJEMPLO 6 Determine la solución de la ecuación diferencial
dy
dt
2y 1
que satisface la condición inicial y(0) 3.
Solución Procedemos como en la deducción del caso general. Primero escribimos
la ecuación diferencial como
dy
dt
2(y 1 2 )
Entonces, transformamos la nueva variable z y + 1 .
2
La ecuación diferencial se
transforma en dz/dt 2z y su solución general es z Ce 2t . Por tanto, como y z
– 1 , 2 la solución general para y es y Ce 2t 1 2
Por supuesto, podríamos haber obtenido esta solución por la simple sustitución de
k 2 y b 1 en la fórmula (4), deducida anteriormente para el caso general.
La constante C es arbitraria y debe determinarse a partir de la condición inicial
dada que y(0) 3. Haciendo t 0 y y 3 en la última ecuación, obtenemos
☛ 26. Determine la solución
de la ecuación diferencial
dy
dt
4 y que satisface la
condición inicial y(0) 3
3 Ce 2(0) 1 2 C 1 2 o C 7 2
Así, sustituyendo C en la solución general, obtenemos
y 7 2 e2t 1 2 ☛ 26
Respuesta y 4 e t
Ahora analizaremos algunas aplicaciones de la ecuación diferencial dy/dt
ky + b. Primero considere el crecimiento de una inversión compuesta n veces por
año con tasa de interés nominal anual de R%. Sea A(t) el valor de la inversión en el
instante t y sea t 1/n el intervalo de tiempo entre las composiciones. Entonces,
como estudiamos al inicio de esta sección, el incremento en A de una composición
a la siguiente está dado por
694 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA