Matemáticas aplicadas

Entonces, las dos operaciones por renglón R 2
1 4 R 1 y 1 R 4 1
reducen la tabla a
la siguiente forma:
☛ 14. Para el siguiente problema
de programación lineal, escriba
la tabla inicial y realice el primer
pivoteo.
Maximizar Z x 2y, sujeta a
x y 2, 2x y 3, x, y 0
x y t u
y 1 4 1 1 4 0 9 4
u 7 4 0 1 4 1
2 3 0 0 Z
En esta forma, los valores de las variables básicas y y u pueden localizarse directamente
en la última columna para la SBF en que x t 0. ☛ 14
Observemos que Z aún está expresada en términos de x y y. Nos gustaría expresarla
en términos de x y t de modo que cuando x y t se hagan iguales a cero, el
valor de Z pueda leerse de inmediato en la tabla. Podemos hacer esto mediante la
operación R 3
3R 1
.
7 4
x y t u
y 1 4 1 1 4 0 9 4
u 7 4 0 1 4 1
5 4 0 3 4 0 Z 2 7
4
7 4
El último renglón de esta nueva tabla es equivalente a la ecuación
Z 2 7
4
5 4 x 3 4 t (3)
Respuesta x y t u
t 1 1 1 0
2
1 2 0 0 Z
u
2 1 0 1 3
y entra (mayor indicador) y t sale
(cociente 2/1, más pequeño que
3/1). Después de las operaciones
por renglón R 2
R 1
, R 3
2R 1
,
obtenemos
x y t u
t 1 1 1 0
2
u
1 0 1 1 1
1 0 2 0 Z 4
Cuando x t 0, ésta se convierte en Z 2 7
4
0 o Z 2 7
4
. En consecuencia, para
la solución factible básica en que x t 0, la función objetivo tiene el valor 2 7
4
.
Es evidente que esto representa una mejora con respecto al valor previo de cero.
En la ecuación (3), observamos que si t se hace positiva, Z en realidad decrecería.
El indicador correspondiente (es decir 3 4 ) es negativo. Por tanto, no debemos
permitir que t entre a la base. El indicador positivo más grande (de hecho, el único
indicador positivo) es 5 4 , que pertenece a x, de modo que x será la variable de entrada
en la etapa siguiente del proceso símplex.
Con objeto de determinar la variable de salida, de nuevo dividimos la última columna
entre los elementos correspondientes de la columna encabezada por la variable
de entrada. Los resultados están dados en la figura 18. El más pequeño de estos cocientes
es 1, que proviene del renglón u, de modo que u será la variable de salida.
Variable de
salida
y
u
x
1
4
7
4
y
1
0
Variable de entrada
t
1
4
1
4
u
0
FIGURA 18
9
4
9 9
( )
4 ( )
4 9
7 7 7
1 ( )
4 4 ( )
4 1
La sucesión de operaciones entre renglones R 1
1 7 R 2
,R 3
5 7 R 2
y 4 7 R 2
reducen
la tabla a
430 CAPÍTULO 10 PROGRAMACIÓN LINEAL