Matemáticas aplicadas

Solución
a) Aquí la función a maximizar es
P(L, K) 50L 2/3 K 1/3
El costo de emplear L unidades de mano de obra a $100 cada una y K unidades de
capital a $300 cada una es de (100L 300K) dólares. Puesto que deseamos disponer
por completo de la suma de $45,000, debemos tener que
100L 300K 45,000
Maximizaremos P(L, K) sujeta a esta restricción.
La función auxiliar es
F(L, K, ) 50L 2/3 K 1/3 (100L 300K 45,000)
Para de obtener un máximo de P(L, K), debe tenerse que
F L
10 3 0 L 1/3 K 1/3 100 0 (3)
F K
5 3 0 L 2/3 K 2/3 300 0 (4)
F λ
(100L 300K 45,000) 0
Resolviendo las primeras dos ecuaciones para ,
Ahora igualamos los dos valores de .
1 3 L1/3 K 1/3 y 1
1
8
L 2/3 K 2/3 (5)
1 3 L1/3 K 1/3 1
1
8
L 2/3 K 2/3
Multiplicando ambos lados por L 1/3 K 2/3 , obtenemos
1 K 3 1 1 L
8
o bien, L 6K
Sustituyendo esto en la expresión de F
resulta que
600K 300K 45,000 0 o bien, K 50
Por consiguiente, L 6K 300 y la empresa maximiza su producción si emplea
300 unidades de mano de obra y 50 de capital.
b) Las productividades marginales de la mano de obra y del capital están dadas
por
P L
10 3 0 L 1/3 K 1/3 , P K
5 3 0 L 2/3 K 2/3
En el nivel máximo de producción, de las ecuaciones (3) y (4) tenemos
Por tanto,
P L
100 y P K
300 (6)
Productividad marginal de la mano de obra
Productividad marginal del capital
P L
100
1
PK 300 3
SECCIÓN 17-5 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (SECCIÓN OPCIONAL) 755