Matemáticas aplicadas

que describen un proceso que evoluciona en el tiempo, por lo común es conveniente
iniciar la sucesión con el término en la posición cero, que corresponde al instante
inicial de tiempo en el que el proceso empieza. Por esta razón, en nuestro estudio
general denotaremos la sucesión por
y 0
, y 1
, y 2
, y 3
,...
DEFINICIÓN Sea y 0
, y 1
, y 2
, y 3
,... una sucesión de números reales. Una ecuación
en diferencias de orden k es una ecuación que relaciona y n
, y n1
,..., y nk
para todo
valor de n (n 0,1,2,3,...).
EJEMPLO 1
a) y n1
3y n
es una ecuación en diferencias de primer orden; es una ecuación
que relaciona y n
y y n1
b) ny n1
(n 1)y n
n 3 también es una ecuación en diferencias de primer
orden ya que, otra vez, sólo aparecen y n
y y n1
en ella.
☛ 21. Dé el orden de las ecuaciones
en las siguientes diferencias:
a) y n3
ny n
b) y n2
2y n
y n1
c) y 2 n1 y n 2y3 n 1
c) y n2
y n
y n1
es una ecuación en diferencias de segundo orden; es una
ecuación que relaciona y n
, y n1
y y n2
d) y n2
ny n
n 1 es también una ecuación en diferencia de segundo
orden. (Observe que y n1
no aparece en esta ecuación). ☛ 21
Observación Es importante darse cuenta de que si el índice n se reemplaza
por cualquier otro índice que cubra el mismo rango de valores, la ecuación así obtenida
es equivalente a la ecuación en diferencias original. Por ejemplo, de este modo
n puede reemplazarse por n – 1 o n – 2 y la ecuación en diferencias permanece
sin cambio. Por ejemplo, en el ejemplo a), al reemplazar n por n – 1, obtenemos la
ecuación en diferencias equivalente
a′)
y n
3 y n1
Tomando n 0 en (a), obtenemos y 1
3y 0
y esta relación puede obtenerse de a′)
haciendo n 1. Tomando n 1 en (a), obtenemos y 2
3y 3
y esto puede obtenerse
de a′) haciendo n 2, y así sucesivamente. Cualquiera de las relaciones obtenidas
de a) dando valores particulares de n también pueden obtenerse de a′). De forma
análoga, reemplazando n por n – 1 en el ejemplo d), obtenemos la ecuación en
diferencias equivalente
d′) y n1
(n 1)y n
1
n
o, de manera alterna, reemplazando n por n – 2, obtenemos otra forma equivalente:
d′) y n
(n 2)y n
2
n 1
Respuesta a) 3; b) 2
c) 1
DEFINICIÓN Una solución de una ecuación en diferencias es un conjunto de valores
para y n
como función de n tal que cuando estos valores se sustituyen en la
ecuación en diferencias, la última ecuación se satisface como una identidad para todos
los valores aplicables de n.
SECCIÓN 7-4 ECUACIONES EN DIFERENCIAS 291