Matemáticas aplicadas

Por tanto, cuando se gastan $3000 en publicidad, un gasto adicional en dólares produce
de esta manera una disminución de $0.50 en la utilidad neta. En este caso, es
claro que el fabricante no debería hacer más publicidad (el costo de publicidad extra
incrementaría en exceso el valor de las ventas adicionales que se generarían). De
hecho, cuando x 3000, ya se está gastando de más en publicidad.
EJEMPLO 4 (Crecimiento de la población) Una población crece de acuerdo con
el modelo logístico (véase la sección 6-4) tal que en el instante t su tamaño y está
dado por
y y m
(1 Ce kt ) 1
con y m
,C y k constantes. Calcule la tasa de crecimiento de la población en el instante
t.
Solución La tasa de crecimiento requerida es dy/dt. Observemos que y es una función
compuesta de t de la forma
Por consiguiente,
y y m
(interior) 1 ,
Pero, por la regla de la cadena, vemos que
interior 1 Ce kt
dy
y m
(1)(interior) 2 d
dt (interior)
dt
y m
(1 Ce kt ) 2 d dt (1 Ce kt )
y m
(1 Ce kt ) 2 (kCe kt )
ky
m
Ce
kt
(1 Ce
kt
) 2
Nuevamente la ecuación (2) se ha utilizado para derivar e kt
Calculemos ahora la derivada de la función y ln x, la función logaritmo natural.
Si y ln x, entonces x e y . Derivemos esta segunda ecuación con respecto a x.
d
(e y d
) dx (x) 1
dx
d
(e y d
) (e y dy
) e y dy
,
dx dx dx dx
puesto que (d/dy)(e y ) e y . Por tanto, e y (dy/dx) 1, y así
Concluyendo:
dy
dx
1
e
y
1
x
dy
Si y ln x, entonces 1 dx x
SECCIÓN 12-3 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 515