Matemáticas aplicadas

Punto de inflexión.
Prueba de la segunda derivada.
13.4 Procedimiento paso a paso para bosquejar las gráficas
de funciones polinomiales.
13.5 Procedimiento paso a paso para traducir problemas de
optimización planteados en forma verbal a problemas
algebraicos.
Modelo de costo de inventario. Tamaño de lote económico
(o cantidad a ordenar).
13.6 Valores máximo absoluto y mínimo absoluto de una función.
13.7 Límite en infinito; lím f(x) y lím f(x)
x→q
x→∞
Asíntota horizontal; la notación límf(x) q o lím f(x)
x→c
x→c
q
Procedimiento para hacer el bosquejo de gráficas con
asíntotas.
Fórmulas
Prueba para la propiedad de que una función sea creciente o decreciente:
Si f(x) 0 [alternativamente, 0] para toda x en un
intervalo, entonces f es una función creciente [función decreciente]
en ese intervalo.
Prueba de la primera derivada:
Sea x c un punto crítico de la función f. Entonces:
a) Si f(x) 0 para x justo antes de c y f(x) 0 para
x justo después de c, entonces c es un máximo local
de f.
b) Si f(x) 0 para x justo antes de c y f(x) 0 para
x justo después de c, entonces c es un mínimo local
de f.
c) Si f(x) tiene el mismo signo para x justo antes de c
y para x justo después de c, entonces c no es un extremo
local de f.
Prueba para la concavidad:
Si f(x) 0 [alternativamente, 0] para toda x en un
intervalo, entonces f es cóncava hacia arriba [cóncava hacia
abajo] en ese intervalo.
Prueba de la segunda derivada:
Sea x c un punto crítico de la función f en el que
f(c) 0 y f(c) existe. Entonces x c es un máximo
local si f(c) 0 y un mínimo local si f(c) 0.
PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 13
1. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes
proposiciones. Cada enunciado falso cámbielo
por una proposición verdadera correspondiente.
a) Si la función f(x) es tal que f(x) 0 en (a, b), entonces
f(x) es creciente en el intervalo (a, b)
b) Si f(x) es derivable en (a, b), entonces f(x) es continua
en (a, b)
c) Si f(x) es continua en (a, b), entonces f(x) es derivable
en (a, b)
d) En un punto de inflexión, f″(x) 0
e) Si en el punto (x 0
, f(x 0
)) se cumple que f″(x 0
) 0, entonces
(x 0
, f(x 0
)) es un punto de inflexión
f) Cualquier función cuadrática sólo tiene un extremo absoluto
g) Una función cúbica siempre tiene un punto de inflexión
h) La tangente a la gráfica de una función derivable en un
punto que es máximo o mínimo es horizontal
i) Una empresa opera en forma óptima si maximiza sus
ingresos
j) “La publicidad siempre reditúa, y cuanto más publicidad
se haga, mejor”
k) Cualquier función cúbica tiene a lo más dos extremos
locales
l) Si f′(x) 0 para x [a, b], entonces el valor máximo
absoluto de f(x) en este intervalo es f(a)
m) Un valor mínimo local de una función siempre es menor
que un valor máximo local de la misma función
n) La tangente a la gráfica de una función en un punto de
inflexión puede ser vertical
o) Si f(x) →L cuando x →∞, entonces se sigue que f(x)
→ L cuando x → ∞
p) Si f(x) → L cuando x → ∞, entonces se sigue que
f(x) → L cuando x → ∞
q) La gráfica de una función puede cortar una asíntota horizontal,
pero nunca puede cruzar una asíntota vertical
(2-7) Determine los valores de x en que las funciones siguientes
son: a) crecientes; b) decrecientes; c) cóncavas hacia arriba;
d) cóncavas hacia abajo. Bosqueje sus gráficas.
PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 13 587