Matemáticas aplicadas

Así el único valor máximo local de f(x) es 0, y ocurre cuando x 2, el único valor
mínimo local es – 2 56
, y aparece cuando x 2
2 7
3
EJEMPLO 6 Determine los máximos y mínimos locales para f(x) (ln x)/x.
Solución Utilizando la regla del cociente, tenemos
f(x)
x 1 x ln x 1
x
2
1 ln x
x
2
Para un punto crítico, f(x) 0, o bien,
1 ln x
x
2
0
Esto es, 1 – ln x 0. Por lo que, ln x 1 ln e y así x e.
En este caso, sólo tenemos un punto crítico, x e. (Observe que f(x) se hace
infinito cuando x → 0. Sin embargo, x 0 no es un punto crítico ya que f(0) no
está definida).
Otra vez, utilizamos la regla del cociente:
f(x)
x 2 (1 ln x)(1 ln x) (x 2 )
(x 2 ) 2
x 2 ( 1/x) (1 ln x)(2x)
x
4
2 ln x 3
x
3
☛ 12. Utilice la prueba de la
segunda derivada para determinar
los extremos locales:
a) f(x) 1 2x 2 x 4
b) f(x) x ln x
c) f(x) x 2 6x 4/3
Respuesta a) Mínimos locales
en ±1, máximo local en 0
b) mínimo local en x e 1
c) mínimos locales en x ±8
la prueba de la segunda derivada
falla para x 0
Cuando x e,
f(e) 2 ln e 3
2 3 1
0
e3
e 3 e
3
en donde hemos utilizado el hecho de que ln e 1. De aquí que f(x) tiene un máximo
local cuando x e. En este caso, no existen mínimos locales. ☛ 12
La prueba de la segunda derivada puede utilizarse para todos los extremos locales
en los que f(c) 0 y f(c) sea distinta de cero. Cuando f(x) 0 en un punto
crítico x c, o cuando f(c) no exista, entonces, no se puede utilizar la prueba
de la segunda derivada para asegurar si x c es un máximo o mínimo local. En tales
casos, debemos utilizar la prueba de la primera derivada. La prueba de la primera
derivada también debe utilizarse para todos los puntos críticos en donde f(c) no
exista.
El siguiente ejemplo ilustra varios casos sencillos en donde la prueba de la segunda
derivada no funciona.
EJEMPLO 7
a) Considere f(x) x 3 . Entonces, f(x) 3x 2 y f(x) 0 cuando x 0. El
único punto crítico es x 0. Ahora, f(x) 6x, de modo que f(0) 0 y la prue-
550 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS