Matemáticas aplicadas

con tres cifras significativas. En consecuencia,
A 2. 30 2.
30
0 2300
k . 001
La cantidad óptima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $2300
por semana.
La utilidad máxima se encuentra sustituyendo este valor de A en la ecuación
(1). Ya que e kA 1
1
0
, se sigue que la utilidad semanal máxima es
P máx
10,000(1 1
1
0
) 2300 6700 dólares
EJEMPLO 7 (Máxima utilidad e impuesto sobre la renta) Las funciones de costo
y de demanda de una empresa son C(x) 5x y p 25 2x, respectivamente.
a) Encuentre el nivel de producción que maximizará las utilidades de la empresa.
¿Cuál es la máxima utilidad
b) Si se impone un impuesto de t por cada unidad y la empresa lo carga en su
costo, encuentre el nivel de producción que maximiza las utilidades de la empresa.
¿Cuál es la máxima utilidad
c) Determine el impuesto por unidad t que debe imponerse para obtener un
máximo impuesto sobre la renta.
Solución Tenemos:
o
Ingreso precio cantidad
R px x(25 2x) 25x 2x 2
a) Si P denota la función de utilidad, entonces,
P R C 25x 2x 2 5x 20x 2x 2 ,
d P
20 4x
dx
Para encontrar la utilidad máxima, dP/dx 0, o 20 4x 0, o x 5. También,
d 2 P/dx 2 4 0. Así que las utilidades son máximas en el nivel de producción
de x 5 unidades. P máx
20(5) 2(5 2 ) 50.
b) Si se impone un impuesto t por cada unidad, la nueva función de costo será
C N
5x tx
y las ganancias estarían dadas por
P R C N
25x 2x 2 (5x tx) (20 t)x 2x 2
d P
20 t 4x y d 2P
4
dx
dx2
Para optimizar las ganancias, dP/dx 0, que da
x 20 t t
5
4 4
564 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS