Matemáticas aplicadas

13-1 LA PRIMERA DERIVADA Y LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN
En esta sección, consideraremos el significado de la primera derivada de una función
en relación con su gráfica.
DEFINICIÓN Se dice que una función y f(x) es una función creciente sobre un
intervalo de valores de x si y crece al incrementarse la x. Esto es, si x 1
y x 2
son dos
valores cualesquiera en el intervalo dado con x 2
x 1
, entonces f(x 2
) f(x 1
).
Una función y f(x) se dice que es una función decreciente sobre un intervalo
de su dominio si y decrece al incrementarse la x. Es decir, si x 2
x 1
son dos valores
de x en el intervalo dado, entonces f(x 2
) f(x 1
).
Las partes a) y b) de la figura 1 ilustran una función creciente y otra decreciente,
respectivamente. La gráfica sube o baja, respectivamente, al movernos de izquierda
a derecha.
TEOREMA 1
a) Si f(x) es una función creciente que es diferenciable, entonces f(x) 0
b) Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable, entonces f(x) 0
DEMOSTRACIÓN a) Sean x y x x dos valores de la variable independiente,
con y f(x) y y y f(x x) los valores correspondientes de la variable dependiente.
Se sigue que
y f(x x) f(x)
Debemos considerar dos casos, según que x 0 o x 0. Están ilustrados en las
figuras 2 y 3.
y
y
f(x 2 )
f(x 1 )
f(x 1 )
f(x 2 )
0 x 1
x 2
x
0 x 1
x 2
x
a) x 2 x 1 ; f(x 2 ) f(x 1 )
b) x 2 x 1 ; f(x 2 ) f(x 1 )
FIGURA 1
530 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS