Matemáticas aplicadas

55. y x 2
1
x
56. y
x2
1
x2 1
*57. y x 2
1
x
*58. y 2 2
x2
1
x2 3x
2
59. y ln x 60. y ln ⏐x⏐
61. y ln x 62. y 2 ln x
63. y e 2x 64. y xe x
x
*65. y e
*66. y e ⏐x⏐
x
67. (Epidemias) Durante una epidemia de influenza, el porcentaje
de la población de Montreal que ha sido infectada
en el tiempo t (medido en días desde el inicio de la epidemia)
está dado por
200t
p(t) (t
2
100)
Encuentre el tiempo en el cual p(t) es máximo y dibuje la
gráfica de p(t).
68. (Consumo de combustible) Una empresa de camiones de
carga encuentra que a una velocidad de v kilómetros por
hora, sus camiones consumen combustible a razón de (25
0.2 0.01 2 ) litros por hora. Construya la función
C() que da el número de litros consumidos por kilómetro
a una velocidad v. Haga la gráfica de la función y calcule
la velocidad en la cual es mínima.
69. (Producción petrolífera) La razón de producir petróleo de
un manto nuevo crece inicialmente y después disminuye
conforme baja la reserva. En un caso particular la razón de
producción está dada por P(t) 5000te 0.2t barriles diarios,
donde t está en años. Dibuje la gráfica de P(t) como
una función de t.
70. (Clima) La temperatura en Vancouver durante un día promedio
de verano varía aproximadamente de acuerdo a la
fórmula
T(t) 24e (1t/8)2 (0 t 16)
donde t es el tiempo en horas medido a partir de las 6 A.M.
Dibuje la gráfica de esta función.
71. (Dosificación de drogas) La siguiente fórmula es utilizada
algunas veces para calcular la dosis de una droga que se
dará a un niño de edad t.
Dt
y(t)
t c
donde D es la dosis de un adulto y c 0 es una constante.
¿Cuáles son las asíntotas horizontales y verticales de esta
función Dibuje la gráfica en los siguientes dos casos:
a) c 10 b) c 15
72. (Curva de transformación de productos) (Véase p. 199)
Una compañía automotriz puede usar su planta para fabricar
tanto automóviles compactos como grandes o ambos. Si x
y y son el número de automóviles compactos y grandes que
se producen (en cientos por día), entonces la relación de
transformación de producción es xy 2x 3y 6. Exprese
y como una función de x, encuentre las asíntotas horizontales
y verticales y dibuje su gráfica.
(73-76) (Funciones de costo promedio) Para las funciones de
costo siguientes C(x), bosqueje las gráficas de las funciones
de costo promedio correspondientes C(x) C(x)/x.
73. C(x) 2 3x 74. C(x) 3 x
75. C(x) 2 x 1 4 x2 2
1
4
x 3
76. C(x) 3 2x 1 6 x2
*77. (Publicidad y utilidades) Si una cantidad A (en miles de
dólares) se gasta en publicidad por semana, una compañía
descubre que su volumen de ventas semanal está dado por
x 2000(1 e A )
Los artículos se venden con una utilidad de $2 cada uno. Si
P denota la utilidad neta (esto es, utilidad generada por las
ventas menos costos de publicidad), exprese P como una
función de A y bosqueje su gráfica.
*78. (Modelo logístico) Bosqueje la gráfica de la función logística.
y
y m
(y 1 ce t m
, c 0)
REPASO DEL CAPÍTULO 13
Términos, símbolos y conceptos importantes
13.1 Función creciente, función decreciente.
13.2 Máximo local, mínimo local, extremo local.
Valor máximo (o mínimo) local.
Punto crítico. Prueba de la primera derivada.
13.3 Cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo.
586 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS