Matemáticas aplicadas

☛ 9. Evalúe los siguientes límites
por medio de sustitución del valor
límite de x, siempre que eso sea
válido:
a) lím [(x 3)(1 x)]
x→3
b) lím x 2
4
c) lím x 2
4
x→2 x 2 x→2 x 2
x 2
d) lím
x→2 x
2
4
Sin duda, el lector habrá notado que en la mayoría de estos ejemplos, el valor
límite de la función considerada pudo obtenerse con la simple sustitución del valor límite
de x en la función dada. Este método de sustitución siempre producirá la respuesta
correcta cuando la función cuyo límite se está evaluando sea continua. Esto
se sigue directamente de la definición de función continua. Todos los polinomios
son funciones continuas y cualquier función racional es continua, excepto en los
puntos en que el denominador se hace cero. De modo que en el caso de una función
racional, siempre podemos evaluar un valor límite por sustitución con tal de que el
resultado después de la sustitución sea un número bien definido y no uno de la forma
0 0 o constante/0. Esta misma observación se aplica a funciones algebraicas de x
a condición de que estén definidas en algún intervalo que incluya el valor a que tiende
x. ☛ 9
En los ejemplos que siguen, determinaremos límites por sustitución. Sin embargo,
recomendamos al lector que haga un buen número de ejercicios usando los
teoremas anteriores en la forma ilustrada por los ejemplos anteriores. La razón de
esto es que nos encontraremos casos en los últimos capítulos en que la utilización
de los teoremas desempeña una parte esencial y los límites no podrán evaluarse por
sustitución. (Véase los ejercicios 47 y 48 como un ejemplo). Sólo después de haber
dominado la aplicación de los teoremas deberá adoptar el lector el método de sustitución
como un medio de evaluar límites.
Puede suceder que al sustituir x c en f(x), obtengamos un resultado del tipo
constante/0. Por ejemplo, suponga que tratamos de evaluar lím
x→0
(1/x). Al sustituir
x 0, obtendríamos el resultado 1/0, que no está definido. En tal caso, diríamos
que el límite no existe. La función 1/x se hace indefinidamente grande cuando
x se acerca a cero, y no se aproxima a algún valor límite. Esto puede advertirse de
la tabla 4, en que aparece una serie de valores de 1/x cuando x toma una sucesión
de valores más y más pequeños. Es claro que los valores correspondientes de 1/x se
hacen cada vez más grandes y no pueden aproximarse a algún valor límite finito.
TABLA 4
x
1
x
1 0.5 0.1 0.02 0.002 0.0002
1 2 10 50 500 5000
Otro caso muy importante que puede surgir es el de obtener el resultado 0/0,
que está indefinido, al sustituir x c en f(x). A menudo, límites de esta clase pueden
evaluarse cancelando factores del tipo (x c) del numerador y denominador de
fracciones que ocurran en f(x). Esta técnica se ilustró ya en esta sección y se darán
otros ejemplos ahora.
EJEMPLO 5 Calcule lím f(x) en el caso de la siguiente función:
x→1
Respuesta a) 12 b) La
sustitución no se permite c) 0
d) el límite no existe.
3x 2
(x 1)
1 x2
f(x) x2 0 (x 1)
SECCIÓN 11-2 LÍMITES 457