Matemáticas aplicadas

En consecuencia, la derivada logarítmica es
☛ 15. Encuentre las derivadas
logarítmicas de las siguientes
funciones:
a) x b) e x c) ln x
y
y
u u u u u
u u u u
Este resultado puede resumirse en la forma siguiente: la derivada logarítmica del producto
u es la suma de las derivadas logarítmicas de u y . ☛ 15
EJEMPLO 5 Calcule dy/dx si y x x (1 x) 1x
Solución Ejemplos de este tipo son trampas para un estudiante incauto. Existe una
gran tentación por aplicar de inmediato logaritmos y escribir
ln y x ln x (1 x) ln (1 x)
Por supuesto, un momento de reflexión nos revela el error cometido al hacerlo así.
Lo que debemos hacer es escribir y u con u x x y (1 x) 1x . Se sigue que
dy
dx
du
dx
d
dx
y las dos derivadas du/dx y d/dx pueden encontrarse por separado mediante derivación
logarítmica. La primera de ellas se obtuvo en el ejemplo 2.
du
x x (ln x 1)
dx
En el caso de d/dx, tenemos
ln (1 x) ln (1 x)
y por consiguiente, después de derivar con respecto a x,
1 d
ln (x 1) 1
dx
En consecuencia, d/dx (1 x) 1x [ln (1 x) 1]. Sumando los valores de
du/dx y d/dx. Obtenemos dy/dx como se requería.
Respuesta a) b) 1
Elasticidad
Un concepto bastante utilizado en economía y administración, y muy relacionado
con la diferenciación logarítmica, es el de elasticidad. Presentaremos esta idea mediante
la denominada elasticidad de la demanda.
Para un artículo dado, sea p el precio por unidad y x el número de unidades
que se adquirirán durante un periodo determinado al precio p, y sea x f(p). La
elasticidad de la demanda por lo regular se denota con la letra griega (eta) y se define
de la manera siguiente:*
c)
1
x ln x
1 x
*Tenga cuidado, algunos textos definen con un signo menos adicional.
610 CAPÍTULO 14 MÁS SOBRE DERIVADAS