Matemáticas aplicadas

12-1 DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES
En esta sección, probaremos y explicaremos el uso de dos importantes teoremas que
representan técnicas útiles cuando se requiere derivar funciones complicadas.
TEOREMA 1 (LA REGLA DEL PRODUCTO) Si u(x) y (x) son dos funciones
de x diferenciables, se sigue que
d
(u ) u d
d u
d x
dx
dx
Esto es,
(u)uu
En términos verbales, la derivada del producto de dos funciones es igual a la
primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada
de la primera.
EJEMPLO 1 Calcule y si y (5x 2 3x)(2x 3 8x 7)
Solución La función dada y puede escribirse como un producto y u si hacemos
u 5x 2 3x y 2x 3 8x 7
Así, por los métodos de la sección 11-4, advertimos que
u10x 3 y 6x 2 8
Por consiguiente, por la regla del producto,
y u u
(5x 2 3x)(6x 2 8) (2x 3 8x 7)(10x 3)
50x 4 24x 3 120x 2 22x 21
Observe el procedimiento aquí:
1. Identifique u y tal que y u.
2. Calcule u y .
3. Utilice la regla del producto para determinar y.
En el ejemplo 1, en realidad no necesitábamos la regla del producto para calcular
la derivada de la función dada. Pudimos calcular y eliminando los paréntesis del
lado derecho y expresando a y como una suma de potencias de x.
y (5x 2 3x)(2x 3 8x 7)
10x 5 6x 4 40x 3 11x 2 21x
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