Matemáticas aplicadas

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CASO DE ESTUDIO OPTIMIZACIÓN DE COSTOS DE PRODUCCIÓN Para el problema de minimizar el costo de producción de muebles de cómputo, cuya función de costos variable está dada por Costo total 55 45 35 25 V(x) 3x 3 15x 2 20x miles de dólares, y los costos fijos, son $20,000, la función de costo total mensual es C(x) 20 3x 3 15x 2 20x miles de dólares, donde x es el número de muebles, en cinetos, que se producen en un mes. Mediante las técnicas que se estudiaron en este capítulo se construyó la siguiente gráfica Costo total 35 25 15 1 2 3 4 Como puede observarse en la gráfica el costo total mínimo se obtiene si no se producen escritorios, pero en este caso se tiene la restricción de tener que producir al menos 50 muebles, así que interesa analizar la gráfica a partir de x 0.5, recuerde que las unidades son cientos 1 2 3 4 X X Ahora ya no es tan obvio cuál es el valor de x que minimiza el costo total. Pero, si se aplica el método para optimizar funciones que se analizó en este capítulo, se iniciaría obteniendo la derivada de la función C(x) de la siguiente manera dC(x) 9x 2 30x 20 dx Ahora, dC(x) 9x 2 30x 20 0 dx 55 55 implica que x 1 o bien x 2 . Por otro lado, 3 3 d 2 C(x) 18x 30 dx 2 así que, d 2 C(x d 2 C(x 2 1 ) ) 0, mientras que 0 dx 2 dx 2 Por consiguiente, el punto (x 1 , C(x 1 )) es un punto máximo local y (x 2 , C(X 2 )) es un punto mínimo local. A continuación se presentan los valores de la función en los extremos del intervalo de interés, 0.5 y 4.5, junto con los valores de la función evaluados en x 1 y x 2 C(0.5) 26.625 C 5 5 28.041 3 C 5 5 23.071 3 C(4.5) 79.625 Así que el mínimo se alcanza en x 2 2.4102. Ahora bien, si se producen 241 muebles (x 2.41) el costo es 23.071063 miles de dólares; mientras que si se producen 242 muebles el costo es 23.071464 miles de dólares, por lo que la decisión debe ser producir 241 muebles para tener un costo mínimo de $23,071.06. Pero, si de lo que se trata es de minimizar el costo unitario, entonces la función que se debe minimizar es U(x) C(x) x CASO DE ESTUDIO 591
cuya gráfica es Si se realizan los mismos pasos que en el caso anterior se encuentra que dU(x d 2 3 ) U(x 0 y 3 ) 0, con x 3 2.89714 dx dx 2 Así que (x 3 , C(x 3 )) es un punto minimo local, y en realidad en el intervalo (0.5, 4.5) es el valor mínimo absoluto, se pide al lector que justifique esta afirmación. Costo unitario 55 y Como, U(2.89) 8.626715 U(2.90) 8.626552, se debe tomar la decisión de fabricar 290 muebles, con lo que el costo unitario sería de aproximadamente $86.26 por mueble producido, recuerde las unidades con la que se está trabajando. ¿Qué sucede si los costos fijos se reducen a $15,000 ¿Qué sucede si los costos fijos aumentan a $22,000 Repita el análisis anterior para estos dos casos. 45 35 25 15 5 1 2 3 4 X 592 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS
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QUINTA EDICIÓN Matemáticas aplica
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ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W
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Contenido PREFACIO xi PARTE UNO ÁL
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PARTE DOS MATEMÁTICAS FINITAS 7 PR
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Repaso del capítulo 14 615 Problem
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• Prácticamente todos los ejerci
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CAPÍTULO 1 Álgebra Álgebra y alg
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☛ 1. ¿Qué tipo de número es ca
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La segunda forma de la propiedad di
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☛ 3. ¿Cuáles propiedades de los
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☛ 4. ¿Están definidas las expre
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EJEMPLO 2 a) 3 5 7 9 3 5
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☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mí
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Por tanto la expresión dada es igu
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TEOREMA 6 a c b c a b (c 0)
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Esto sugiere que la tabla se comple
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En una expresión, tal como 3c 5 ,
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33. (x 2 y) 3 34. (a b 2 ) 1 49.
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DEFINICIÓN Sea n un enero positivo
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3 9 EJEMPLO 6 Encuentre m tal que
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x3 35. x /7 1/7 y2/ 5 y1/ 5 36.
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Reagrupando los términos, de tal m
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18x 3 15x 2 6x 18x 3 15x 2 6x (3x
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Esta propiedad es útil cuando divi
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☛ 25. Verifique si es correcta la
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☛ 26. Saque todos lo factores com
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EJEMPLO 3 Factorice ax 2 by 2 bx
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Solución a) La factorización de x
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Con el propósito de que una expres
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) Multiplicamos por x 2 5: ☛ 34.
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5(x 2 4) (x 1)(x 2 4x 4) 3(x
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EJERCICIOS 1-7 (1-40) En las expres
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REPASO DEL CAPÍTULO 1 Resumen 1.1
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33. 64 f 3 1 41. 10t 2 13tu 3u 2
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CAPÍTULO Ecuaciones de una variabl
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Así, por ejemplo, 5 es una raíz d
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lo cual concuerda con la ecuación
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EJEMPLO 4 Solución Resuelva la ecu
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EJERCICIOS 2-1 (1-10) Compruebe si
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Paso 2 Luego, el segundo entero es
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☛ 8. ¿Cuál es el interés anual
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17. (Inversión) Una persona invirt
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Observemos que el punto crucial del
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☛ 12. Resuelva la ecuación: x 2
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Terminamos esta sección deduciendo
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41. 7x 3(x 2 5) x 3 42. 2x(4x
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a una renta de $180 mensuales. A un
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Solución Al final del primer año,
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c) Determine la altura máxima que
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16. 21x 30 45x 26 17. 32x 8 x *
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CAPÍTULO 3 Desigualdades ¿Comprar
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Por una colección bien definida, e
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☛ 3. ¿Las siguientes proposicion
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Usamos los símbolos q (infinito) y
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EJEMPLO 1 a) 3 x 2x 4 es una desi
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Pero, dado que (a c) (b c) es po
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Solución En este caso, como x apar
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mano de obra. Determine el número
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3/2 0 4 FIGURA 8 quier punto en cad
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Solución El ingreso I (en dólares
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lar de incremento en el precio, las
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establece que la distancia entre x
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Solución Utilizando la proposició
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(37-38) Exprese las siguientes afir
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42. ⏐2x⏐ ⏐x⏐ 12 *43. ⏐x
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CAPÍTULO 4 Líneas rectas El probl
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☛ 1. Grafique los puntos (4, 0),
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y (0, y 2 ) B Q (x 2 , y 2 ) (0, y
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face cuando sustituimos x 1 y y 1.
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TABLA 3 q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Grafic
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Observemos que la elevación es igu
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A través de cualquier punto, hay p
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Enseguida, supóngase que la línea
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☛ 9. Determine la pendiente y la
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Esto se ilustra en la figura 17. De
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Haciendo x 0 en la ecuación (2),
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☛ 14. Una compañía está utiliz
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(20, 25) y (30, 20). La pendiente d
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cienden a 2000 televisores al mes.
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DEFINICIÓN Un sistema de ecuacione
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Solución La primera etapa consiste
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líneas, y de aquí, dan una soluci
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Solución En este sistema, una de l
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Ahora tenemos que resolver dos ecua
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por las ventas, no hay utilidad ni
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elación lineal como una representa
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☛ 25. Si la ley de la demanda es
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EJEMPLO 7 (Subsidio y punto de equi
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(9-14) (Equilibrio del mercado) Det
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6. Pasa por los puntos (0, 0) y (7,
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CASO DE ESTUDIO EL PROBLEMA DE LA S
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5-1 FUNCIONES ☛ 1. ¿Lo siguiente
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Por tanto, g(1) g(h) 6 3h 2 2h
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☛ 4. Grafique las funciones y 4
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les x para los cuales f (x) es un n
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En los ejemplos anteriores, hemos e
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Una función f definida por la rela
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(19-24) Evalúe [ f (x h) f (x)]/
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65. De un hoja rectangular de 20 1
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Solución Comparando la ecuación y
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☛ 14. En el ejemplo 3, exprese la
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) El ingreso I obtenido por vender
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☛ 17. Dibuje las gráficas de f (
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☛ 18. Determine la ecuación del
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Algunas veces sucede que una empres
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Funciones valor absoluto Si x es un
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Solución Para 3 x 0, esto es, pa
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tintas al tiempo t; ahora, el ingre
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) g(4) 4 2. Tenemos (f ° g)(4)
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3q 600. Como una función de la ca
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La ecuación (1) podría pensarse t
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☛ 28. Dada f (x) como sigue, encu
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13. xy 2 (x 2 1)y x 0 14. y 2
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32. (Función de costo) El costo po
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CAPÍTULO 6 Logaritmos y exponencia
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EJEMPLO 1 (Inversiones) Una suma de
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Para la segunda, i 0.0305 y k 4,
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☛ 6. Suponga que $1 se invierte a
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EJEMPLO 8 (Inversión) Una inversi
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EJERCICIOS 6-1 (1-2) Si $2000 se in
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6-2 FUNCIONES EXPONENCIALES Conside
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5 y y = 3 x 1 y = ( ) 3 x 4 3 y =
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☛ 11. Utilizando los valores tabu
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35. Durante el otoño, en promedio
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Al igual que con cualquier función
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Los logaritmos tienen las cuatro pr
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) En la base de la tabla, encontram
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Logaritmos comunes En algún tiempo
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(23-28) Dado que log 5 0.6990 y lo
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Por tanto, log 2.5 0.3979 n (de
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) e (1.609)t ; c) e [ln (1i )]t P
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☛ 29. Exprese lo siguiente en té
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y y m y 0 0 t Por tanto, y se hace
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Tomando logaritmos naturales de amb
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tamaño de la población después d
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h) l n a5 ln a ln a3 2 1 i) log
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Calcule el porcentaje de la muestra
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CAPÍTULO 7 Progresiones y matemát
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El n-ésimo término está dado por
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Si la inversión es a interés simp
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☛ 7. Una PA tiene segundo términ
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* 28. (Descuento simple) La señori
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16 243 a r8 ar3 1 2 r 5 1
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S n a( 1 r n ) 1 r Esto prueba
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☛ 13. El decimal recurrente 0.515
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Planes de ahorro El tipo más simpl
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☛ 15. Utilizando la tabla A.3.4 e
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☛ 18. Utilizando la tabla A.3.4 d
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En consecuencia, la ecuación (1) t
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24. (Plan de ahorro) El señor Lóp
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que describen un proceso que evoluc
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y se satisface la ecuación en dife
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TABLA 4 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Año 1991
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☛ 25. Determine la solución para
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Por lo regular, esta ecuación en d
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Ahora, el préstamo inicial (que es
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0.5 y n y n1 y 1 00 n1 1000 1.
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a) Determine la ecuación en difere
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☛ 30. En el ejemplo 1, evalúe a)
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TEOREMA 2 a) n k1 b) n k1 c) n k
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☛ 32. Evalúe a) 20 (j 1) 2 j1
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
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CASO DE ESTUDIO ¿CÓMO SALVAR EL H
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8-1 MATRICES Una empresa produce cu
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Una matriz con el mismo número de
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Respuesta Calculamos la matriz de v
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a) Escriba una matriz que represent
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P Q R A 3 2 4 2 5 1 Producto I P
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En consecuencia, en detalle, ☛ 8.
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Por consiguiente, AI IA A. Advert
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Definimos la matriz A m n cuyos el
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36. Dé un ejemplo de dos matrices
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2y 2. Sumando esto a la primera ec
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☛ 13. Escriba la matriz aumentada
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Usemos ahora el segundo renglón pa
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Para la primera columna aplicamos l
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8-4 SISTEMAS SINGULARES Todos los s
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Al igual que en el ejemplo 1, obtuv
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Solución La matriz aumentada es P
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*32. Daniela es la gerente de una c
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Por tanto, para el segundo año: C(
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9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ DEFINI
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o bien, Por consiguiente, a 3c b
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☛ 4. Encuentre A 1 , si 5 4 A 4
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☛ 6. Resuelva el ejemplo 6 si 0 1
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Leontief, la economía de Estados U
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☛ 7. ¿Cuáles son las produccion
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☛ 9. Una economía de dos sectore
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9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) Un
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☛ 10. ¿Las matrices siguientes s
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Hoy Primer día Segundo día Tercer
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EJEMPLO 4 (Predicción del tiempo)
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en lugar de [0.25 0.75]. En otras p
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Estado 1 Estado 2 Estado 1 0.6 0.4
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a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
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Solución Desarrollando por el prim
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Una aplicación importante de los d
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Debe señalarse que la regla de Cra
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De manera similar, 11 1 2 3 A 11 (
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a) Determine la matriz insumo-produ
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TABLA 10 Industria Demandas Producc
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44. Tira un par de dados no cargado
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CAPÍTULO 10 Programación lineal C
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La gráfica de la desigualdad Ax B
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90y 30,000 165x 165 30,000 90y x
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☛ 4. ¿Cómo se modifican las des
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nen un costo no mayor de $1.00 y qu
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y 40 5x 3y 105 20 (12, 14) 2x 4y
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☛ 7. Utilice el método gráfico
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te evidente que la línea de utilid
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Consideremos un problema de program
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y 20% de nueces; mientras que la m
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y las ecuaciones lineales y t 1.5
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y 3 2 A x y 2.5 (v 0) B y 1.5 (
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☛ 13. Construya la tabla símplex
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0.3x 0.4y t u w 19.5 0.6x 0
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10-4 MÉTODO SÍMPLEX El procedimie
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Variable de salida u: Mediante un a
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x y t u y 0 1 2 7 1 7 2 x 1 0
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Paso 1 Definimos las variables de h
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EJEMPLO 3 Minimice C 10 x 2y suj
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CASO DE ESTUDIO PRODUCCIÓN ÓPTIMA
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11 CAPÍTULO CAPÍTULO La derivada
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q 1 500(150 p 1 ) 500(150 120)
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☛ 2. Calcule y para valores gener
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s(t) 16t 2 Determine la velocidad
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) t 3 y t 4 años c) t 3 y t 3
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TABLA 1 t s/t 0.5 0.25 0.1 0.01 0.0
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☛ 6. Después del ejemplo 1, eval
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☛ 7. Utilizando los teoremas 1 y
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☛ 9. Evalúe los siguientes lími
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EJERCICIOS 11-2 (1-30) Evalúe los
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La tasa de crecimiento promedio dur
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Deseamos tomar el límite cuando x
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☛ 14. En el ejemplo 4, encuentre
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DEMOSTRACIÓN a) En la función y
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☛ 17. Encuentre d y si dx 2 a)
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Si n es un entero positivo, a n b
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59. (Móvil) La distancia recorrida
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El costo marginal mide la tasa con
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Ingreso y utilidad marginales Ahora
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La utilidad marginal es la derivada
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La razón S/I representa la fracci
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y 2 1 (2, 1) (4, 3) 1 y 0 1 2 3 4 x
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Recordemos la definición de contin
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☛ 25. (Más difícil) Utilizando
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☛ 27. (Más difícil) Demuestre q
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42. (Función de costo de la electr
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29. (p 3 3p)(p 2 1) 30. (p 3 )(
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t E(t) 6000 5 0 , para 1 t 50
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12-1 DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIE
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☛ 3. Utilice la regla del cocient
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Solución C(x) 0.003x 2 0.6x 40
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(x 31. f (x) 2 1)(2x 3) (t 3)(3
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de la función es la quinta potenci
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Para determinar du/dx escribimos u
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Sustituyendo x 5, el nivel de prod
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vertido K en planta y maquinaria. S
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Pero usando una propiedad básica d
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Por tanto, cuando se gastan $3000 e
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☛ 15. Derive a) y ln [(x 1) 2 ]
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55. y a x 56. y 3 x2 1 57. y log
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mecánica establece que cuando una
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C' (x) 17.5 10 0 50 100 150 x EJEMP
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Regla de cadena: Tasas relacionada
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CASO DE ESTUDIO PROPENSIÓN MARGINA
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CAPÍTULO 13 Optimización y bosque
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y y y f(x) y f(x) y y y y y y 0
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TABLA 1 ☛ 2. ¿Para qué valores
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31. (Análisis del ingreso marginal
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☛ 4. Proporcione los valores de x
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4 5 x3 (x 1) 1/5 [5(x 1) x] 4
Page 556 and 557: f existe para toda x, así los punt
Page 558 and 559: x 11. 2 12. x 2/3 x 1/3 33. f(x)
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Page 564 and 565: Prueba de la segunda derivada En la
Page 566 and 567: ☛ 13. Para cada una de las siguie
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Page 570 and 571: En consecuencia, la gráfica es cre
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Page 574 and 575: La solución de problemas de optimi
Page 576 and 577: Una de las aplicaciones más import
Page 578 and 579: ☛ 19. Determine el valor de x que
Page 580 and 581: La utilidad máxima es P máx (20
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Page 588 and 589: La tapa cuesta (r 2 )(300) dólares
Page 590 and 591: 11. f(x) x ln x; e 1 x e 12. f(
Page 592 and 593: TABLA 8 x 1 10 100 1000 10,000 f(x
Page 594 and 595: Solución a) Tenemos que Por la reg
Page 596 and 597: ☛ 28. Para la función 1 y , det
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Page 602 and 603: Punto de inflexión. Prueba de la s
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Page 614 and 615: ☛ 6. Vuelva a resolver el ejemplo
Page 616 and 617: Al usar esta técnica, derivamos ca
Page 618 and 619: La ecuación de la línea tangente
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Page 622 and 623: 35. ln (yz) y z 36. xe y ye x 1
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Page 630 and 631: e las relaciones de demanda siguien
Page 632 and 633: para los cuales la demanda es a) el
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Page 640 and 641: Precaución Las variables no pueden
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Solución Elijamos f(x) x y g(x)
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☛ 16. Determine x 3 e x2 dx [Sug
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Integración por partes: f(x)g(x)
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2x) 1/2 . Determine la productivida
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U′(34.15) 0 A la izquierda de es
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16-1 ÁREAS BAJO CURVAS En esta sec
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y y f (x ) A 0 a b x FIGURA 1 a x
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☛ 5. La función de ingreso margi
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y asimismo a b f(x) dx F(x) a b
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(1-26) Evalúe las siguientes integ
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F(a), o bien, b a g(x) dx [F(b) F
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☛ 8. Determine el área entre el
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y 0 2 1 1 2 x 2 y x 2 8 4 6 y x
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☛ 12. Haga un bosquejo del área
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13. y e x , y x 2 ; x 0, x 1 14
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L 2 1 x 1 5 1 x 2 x 0 16 1
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Maximización de la utilidad con re
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con este método, el valor presente
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p SC Curva de oferta p 0 SP Curva d
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espectivamente, en donde el tiempo
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Si f(x) 0 en el intervalo [a, b],
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fórmula T(t) 13 3t 1 3 6 t 2
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Es intuitivamente claro que tendrem
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TABLA 2 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3
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x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 b) La r
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DEFINICIÓN Se dice que una funció
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espondiendo a 1900. Suponga que est
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A A(t t) - A(t) rA(t) t en donde
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17. dy/dt 2y 0; y 1 cuando t 1
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podemos utilizar este método en ve
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te restringido, pero se han encontr
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ya que se da p k/m 0.25/m. Separa
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tinuos de un intervalo dado. Por ej
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1 y y f (x) 1 y (2x 3) 4 y f (x
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ya que e d/200 → 0 cuando d → q
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y y f (x ) x FIGURA 28 la curva c
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23. (Distribución uniforme) El pes
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2. Demuestre que ab 1 dt b 1 22.
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CASO DE ESTUDIO UN PROBLEMA DE INVE
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CAPÍTULO 17 Funciones de varias va
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☛ 1. Si f(x, y) ln (x y) x y
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D {(x, y, z)⏐x 2 y 2 9, x z
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☛ 4. Dibuje curvas de nivel para
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☛ 5. Para la función z x 2 - xy
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3. f(x, t) x t 1 x 2 ; (x, t)
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z f(x x, y) f(x, y) lím x x
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No necesitamos aplicar la fórmula
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☛ 8. Calcule z x , z xx y z xxy p
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46. (Microbiología) En el proceso
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las productividades marginales son
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☛ 12. Dos productos A y B tienen
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☛ 14. El ingreso, R, de una compa
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17-4 OPTIMIZACIÓN En el capítulo
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☛ 16. Sea f(x, y) (x y) 2 2(x
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Resolviendo estas dos ecuaciones, o
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por encima de 10°C y x es la canti
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Un método alternativo (que evita t
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Solución a) Aquí la función a ma
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☛ 20. Vuelva a resolver el ejempl
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19. (Inversiones) Una inversión de
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caigan sobre la línea recta, la l
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☛ 21. Determine la ecuación para
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TABLA 6 Precio (p) 2 2.25 2.50 2.75
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z f(x, y y) f(x, y) lím y y
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la producción de una empresa está
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CASO DE ESTUDIO DECISIÓN SOBRE PRO
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APÉNDICE I Tabla de derivadas est
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x2 1 2 11. dx (ax b) 2 a 3 a
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Integrales que contienen x 2 a 2
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Integrales diversas 1 1 79. dx
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TABLA A.3.1 Logaritmos comunes con
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TABLA A.3.2 Logaritmos naturales (c
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TABLA A.3.3 Funciones exponenciales
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
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Soluciones a problemas con número
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51. 125 minutos 23. u 1, v 3, w 5
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7. x 2 9. 1 2 3 x 2 4 11.
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f) Falso. Si A es una matriz de n
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27. 3 x2 4 2x3/2 29. 5p 4 6p 2
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0.4 0.2 33. 3 3 4 pulgadas 3 3 4 p
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19. 1 9 x 2 8x 1 21. y′ x
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i) Falso; si todas las derivadas pa
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Bebidas y conducción de automóvil
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Determinante(s), 380 definición de
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decreciente, 530-534, 541, 551-555
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Mano de obra, 743, 769 utilización
Page 831 and 832:
Programación lineal, 399-440 costo
Page 833:
maximización de la, con respecto a
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Matemáticas aplicadas

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