Matemáticas aplicadas

y
y f (x )
A
0 a b x
FIGURA 1
a x b y que toma valores no negativos en tal intervalo. La gráfica de y f(x)
se encuentra por completo por arriba del eje x, como se ilustra en la figura 1.
Deseamos encontrar una fórmula para el área A que está entre tal gráfica, el eje x y
las rectas verticales en x a y x b. Esta área aparece sombreada en la figura 1.
Existe una estrecha relación entre el área A y la antiderivada de la función
f(x). Esta relación es el contenido del llamado teorema fundamental del cálculo,
quizá el teorema más importante de todo el cálculo.
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Sea f(x) una
función continua no negativa en a x b y sea F(x) una antiderivada de f(x). Entonces
A, el área entre y f(x), el eje x y las líneas verticales x a y x b, está
dada por la integral definida
A b
f(x) dx F(b) F(a)
a
Antes de presentar la demostración del teorema, ilustraremos su aplicación
mediante algunos ejemplos.
EJEMPLO 3 Evalúe el área entre la gráfica y x 2 y el eje x de x 0 a x 2.
Solución El área requerida está sombreada en la figura 2. Puesto f(x) x 2 es no
negativa, esta área es igual a la integral definida b a f(x)dx, en donde f(x) x2 ,a
0 y b 2. Así que el área es
4
2
y
y x 2 (2, 4)
0 2
x
FIGURA 2
SECCIÓN 16-1 ÁREAS BAJO CURVAS 653