Matemáticas aplicadas

☛ 13. Evalúe las integrales
impropias siguientes, si existen:
a) q
1
dx
b) 2
1
c) q
e kx dx (k 0)
0
1
x
x
1
3 dx
EJEMPLO 7 Evalúe las siguientes integrales siempre y cuando existan.
a) q
1
Soluciones
a) q
1
1
dx x
2
b) 0 e x dx
q
c) q q
x
x2 1
x 2 dx lím b
x 2 dx lím b x1 b→q 1
b→q 1
dx
b) 0 q
c) q q
lím [1 b 1 ] 1 0 1
b→q
e x dx lím 0
e x dx lím 0 ex a→q a
a→q a
x
x2 1
lím [1 e a ] 1 0 1
a→q
dx lím lím b x
a→q b→q a x2 1
dx
Respuesta
a) No existe
Hacemos la sustitución x 2 1 u. Entonces, 2x dx du y
x 1
dx du 1 2 u 2 ln u 1 2 ln (x2 1)
x2 1
(ignorando la constante de integración). Por tanto,
q q
x
x2 1
dx lím lím 1 a→q b→q 2 ln (b2 1) 1 2 ln(a2 1)
Ahora cuando b → q, el primer término de la derecha se vuelve infinitamente grande,
por lo cual el límite no existe. Por tanto, la integral impropia en esta parte no
existe. (Nótese que no debemos hacer a b y simplemente hacer b → q. Debemos
hacer a → q como un límite distinto y separado de b → q). ☛ 13
b) 1 8 c) 1 k EJERCICIOS 16-2
(1-8) En cada uno de los siguientes ejercicios, determine el
área de la región acotada por la curva y f(x), el eje x y las líneas
x a y x b.
1. y x 2 ; x 0, x 3
2. y 1 x; x 1, x 9
3. y e x ; x ln 2, x ln 5
4. y x 3 ; x 1, x 1
5. y x 2 4; x 0, x 3
6. y x 2 3x 2; x 0, x 3
7. y 1 x 2 ; x 0, x 2
8. y 2x 1; x 0, x 1
(9-14) Encuentre el área entre los siguientes pares de curvas y
entre las líneas verticales dadas.
9. y x 2 , y 3x; x 1, x 2
10. y x 2 , y 2x 1; x 0, x 2
11. y x, y x 2 ; x 0, x 1
12. y x 2 , y x 3 ; x 0, x 2
668 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA