Matemáticas aplicadas

En nuestro ejemplo, n 2, a 3 y b 2. En consecuencia,
1
2 3x
dx 3 1
dx (1)
x2 2 3x
2x 4 x 2 3x
A fin de evaluar la integral del lado derecho de la ecuación (1), buscamos de nuevo
en la parte de la tabla de integrales en donde aparezca ax b; la fórmula 22 da
1
1 ax b b
dx ln , si b 0
x ax b b ax b b
Haciendo a 3 y b 2 en la expresión anterior, tenemos
1
1 2 3x 2
dx ln
x 2 3x
2
2 3x 2
Usando este valor en el lado derecho de la ecuación (1),
☛ 12. Utilice la tabla para
encontrar
(ln x) 2 dx
1
2 3x 3 2 3x 2
dx ln C
x2 2 3x
42
2 3x 2
en donde otra vez sumamos la constante de integración C. ☛ 12
2x
Algunas veces, antes de aplicar una tabla de integrales, es necesario realizar un
cambio de variable mediante sustitución con el objetivo de reducir la integral dada
a una que aparezca en la tabla.
*EJEMPLO 4 Encuentre
e x
(ex 2)(3 e x )
dx
Respuesta
x(ln x) 2 2x ln x 2x C
Solución En este caso, no encontramos la integral en la tabla. En primer término,
cambiamos la variable de integración. Es claro que, e x dx, la diferencial de e x aparece
en el integrando, de modo que e x y. Luego, e x dx dy y la integral dada ahora se
transforma en
e
x
dx dy
1
(ex 2)(3 e x ) (y 2)(3 y)
Una integral general de esta forma aparece en la tabla (fórmula 15):
1
1
dx ln
cx d
(bc ad 0)
(ax b)(cx d) bc ad ax b
En nuestro ejemplo, a 1, b 2, c 1 y d 3, y x en lugar de y. Así,
1
1
dy ln
y 3
C
(y 2)(3 y) (2)(1) (1)(3) y 2
1 5 ln 3 y
C y 2
638 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN