Matemáticas aplicadas

que es una diferencia de dos cuadrados. Usando la fórmula (1) con a xy 2 y b 3,
tenemos
x 2 y 4 9 (xy 2 ) 2 3 2 (xy 2 3) (xy 2 3)
Ninguna de las expresiones entre paréntesis en el lado derecho puede factorizarse
aún más.
b) Antes que todo, verifiquemos si podemos factorizar algún monomio de
5x 4 80y 4 . En este caso, dado que el término es divisible entre 5, sacamos el factor
común 5.
5x 4 80y 4 5(x 4 16y 4 )
La expresión x 4 16y 4 es una diferencia de cuadrados.
5x 4 80y 4 5[(x 2 ) 2 (4y 2 ) 2 ]
5[(x 2 4y 2 )(x 2 4y 2 )]
5[(x 2 4y 2 )(x 2 4y 2 )
La factorización no está completa, porque x 2 4y 2 x 2 (2y) 2 puede factorizarse
aun como (x 2y)(x 2y). En consecuencia, nos falta un paso.
☛ 27. Utilice la fórmula para la
diferencia de cuadrados, para
factorizar 2x 2 – 4
5x 4 80y 4 5(x 2 4y 2 )(x 2 4y 2 )
5(x 2y)(x 2y) (x 2 4y 2 ) ☛ 27
Observaciones 1. La fórmula (1) nos permite factorizar cualquier expresión
que tenga la forma de una diferencia de cuadrados. No existe una fórmula correspondiente
para expresar la suma a 2 b 2 como el producto de dos o más factores.
Una expresión que contiene la suma de dos cuadrados, tal como a 2 b 2 o4x 2
9y 2 , no puede factorizarse.
Sin embargo, expresiones tales como a 3 b 3 ,a 4 b 4 , etc., que contienen la
suma de dos potencias más altas pueden factorizarse. Esto se examina después.
2. Podemos escribir
x 2 2 x 2 (2) 2 (x 2)(x 2)
Por lo regular es aceptable incluir números irracionales (como 2) en los factores.
Sin embargo, preferimos no usar expresiones que incluyan a x como factores. Por
ejemplo, como regla no escribiremos
x 4 (x) 2 2 2 (x 2) (x 2)
Respuesta (2x 2)(2x 2)
o bien 2(x 2)(x 2)
Una técnica útil al factorizar expresiones algebraicas que contienen un número
par de términos es el método de agrupamiento. En este método, los términos se
agrupan en parejas y los monomios comunes se extraen de cada par de términos. Esto
a menudo revela un factor binomial común a todas las parejas. Este método es en
particular útil para expresiones que contienen cuatro términos.
40 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA