Matemáticas aplicadas

☛ 17. Evalúe lo siguiente,
si existen: a) (27) 1/3
b) (64) 1/6 c) 5 32
1
d) ( 16 ) 1/4 e) 6 729
f ) 101 1
DEFINICIÓN Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un número
real no negativo, entonces se dice que b es la n-ésima raíz principal de a si b n
a y b 0. Así, la n-ésima raíz de a es el número no negativo el cual, al elevarse a
la n-ésima potencia, da el número a. Denotamos la n-ésima raíz principal por b
a 1/n .
Si n es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un número real
cualquiera, entonces b es la n-ésima raíz de a si b n a, expresada una vez más como
a 1/n . Es decir,
b a 1/n si b n a;
b 0 si n es par.
Las raíces impares están definidas para todos los números reales a, pero las raíces
pares sólo están definidas cuando a no es negativo.
EJEMPLO 2
a) 32 1/5 2 porque 2 5 32
b) (216) 1/3 6 ya que (6) 3 216
c) 16 1/4 2 porque 2 4 16 y 2 0
d) (729) 1/6 3 ya que 3 6 729 y 3 > 0
e) 1 1/n 1 para todo entero positivo n, porque 1 n 1
f )(1) 1/n 1 para todo entero positivo impar n, debido a que (1) n 1
cuando n es impar.
g) (81) 1/4 no existe, porque los números negativos sólo tienen raíces n-ésimas
cuando n es impar.
El símbolo n
a también se utiliza en vez de a 1/n . El símbolo se denomina
signo radical y n
a a menudo se llama radical. Cuando n 2, a 1/2 se denota simplemente
por a más bien que por 2
a: se llama la raíz cuadrada de a. También,
3 a a 1/3 es la tercera raíz de a, por lo regular se le llama raíz cúbica, 4 a a 1/4
es la raíz cuarta de a, etc. Los resultados en el ejemplo 2 pueden volverse a formular
utilizando esta notación:
a) 5 32 2; b) 3 216 6; c) 4 16 2
d) 6 729 3; e) n 1 1 para n un entero positivo
f ) n
1 1 para n un entero positivo impar
g) 4 81 no existe ☛ 17
Respuesta a) –3; b) 2; c) –2; d)
y e) no existen; f ) –1
Ahora estamos en posición de definir a m/n para un exponente racional m/n.
24 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA