Matemáticas aplicadas

Así, con el propósito de encontrar el logaritmo natural de y, podemos determinar
el logaritmo común de y y multiplicarlo por 2.3026. Sin embargo, este método
de calcular el logaritmo natural de un número no es muy conveniente, cuando se
compara con el uso de una tabla adecuada. Sin embargo, la relación entre los dos logaritmos
es de importancia teórica.
EJEMPLO 9 Con base en la tabla A.3.1, encontramos que log 2 0.3010, de modo
que log 0.2 0.3010 1 0.6990. Los logaritmos naturales de 2 y 0.2 son,
por tanto,
y también
ln 2 2.3026 log 2 (2.3026)(0.3010) 0.6931
ln 0. 2 2.3026 log 0.2 (2.3026) (0.6990) l.6095
No es difícil demostrar la fórmula del cambio de base para logaritmos. Empezamos
con las dos proposiciones equivalentes
y a x y x log a
y
De manera similar, si a b c ,c log b
a. Pero entonces
y a x (b c ) x b cx
y de esto se sigue que cx log b
y. Por tanto, sustituyendo c y x, obtenemos la fórmula
requerido, log a
y log b
y/log b
a también requerida.
log b
y cx (log b
a)(log a
y)
o, log a
y log b
y/log b
a también requerida.
El modelo logístico
Anteriormente, cuando analizamos el crecimiento de poblaciones, mencionamos
que una función de crecimiento exponencial puede utilizarse para crecimiento de
poblaciones sin restricción de sus medios ambientes. Sin embargo, cuando el hábitat
impone limitaciones sobre el crecimiento, el crecimiento exponencial no continúa
de manera indefinida, y eventualmente el tamaño de la población se nivela. La
función que se utiliza con mayor frecuencia para modelar un crecimiento restringido
de esta clase se denomina modelo logístico. Tiene como base la ecuación siguiente
para el tamaño de la población.
y
(1)
1 Ce
kt
Aquí y es el tamaño de la población en el instante t y y m
, C y k son tres constantes
positivas.
Una gráfica común de y contra t para esta función logística se muestra en la
figura 8. Observemos que cuando t se vuelve muy grande, e kt se hace muy pequeña,
de modo el denominador en la ecuación (1) se hace cada vez más cercano a 1.
y m
254 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES