Matemáticas aplicadas

La derivada parcial x A
/p A
puede interpretarse como la demanda marginal de A
con respecto a p A
. De manera similar, x A
/p B
es la demanda marginal de A con
respecto a p B
y mide la cantidad en que la demanda de A crece por incremento unitario
en el precio de B. Pueden darse interpretaciones similares a las otras dos derivadas
parciales.
Si el precio del artículo B se mantiene fijo, entonces, en general, un incremento
en el precio de A da como resultado una disminución en la demanda x A
de A. En
otras palabras, x A
/p A
< 0. En forma análoga, x B
/p B
< 0. Las derivadas parciales
x A
/p B
y x B
/p A
pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la interacción
particular entre los dos productos. Por ejemplo, suponga que los dos artículos
son filete de res (A) y de cerdo (B). Un incremento en el precio de A (filete de res)
da como resultado un incremento en la demanda de B (carne de cerdo) cuando el
precio de B permanece sin cambio, dado que algunos consumidores cambiarán de A
a B. Así, x B
/p A
> 0. De manera similar, si el precio de A (filete de res) permanece
sin cambio, un incremento en el precio de B (carne de cerdo) da como resultado
un incremento en la demanda de A (filete de res), esto es, x A
/p B
> 0.
Los dos artículos A y B se dice que son competitivos entre sí
x B
pA
x
0 y A
0
pB
esto es, si un incremento en el precio de uno de ellos da como resultado un incremento
en la demanda del otro.
Algunas veces un incremento en el precio de un artículo da como resultado
una disminución en la demanda del otro (suponiendo que su precio permanece sin
cambio). En otras palabras, tanto x A
/p B
como x B
/p A
son negativas. En tal caso,
se dice que los dos productos A y B son complementarios entre sí. Por ejemplo,
las películas fotográficas y las cámaras son dos productos complementarios. Si las
cámaras se hacen más costosas, entonces habrá una caída en la demanda de las películas.
EJEMPLO 3 Las demandas x A
y x B
de los productos A y B están dadas por las funciones
x A
300 5p B
7p 2 A
y x B
250 9p B
2p A
en donde p A
y p B
son los precios unitarios de A y B, respectivamente. Determine las
cuatro funciones de demanda marginal e investigue si los productos A y B son competitivos
o complementarios entre sí.
Solución Las cuatro funciones de demanda marginal están dadas por las cuatro derivadas
parciales.
x A
pA
x
14p A
, A
5
pB
x B
pA
2,
x B
pB
9
Puesto que x A
/p B
y x B
/p A
son positivas, los productos son competitivos.
740 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES