Matemáticas aplicadas

Algunas veces sucede que una empresa puede elegir entre dos (o más) formas
de usar algunos de sus recursos con la finalidad de producir diferentes productos
elaborados. Recursos tales como materias primas disponibles, planta industrial, maquinaria
y mano de obra, en ciertas condiciones, podrían destinarse a la producción de
varios artículos diferentes y la compañía podría elegir cómo producir cada uno
de ellos. Por ejemplo, un fabricante de zapatos podría producir zapatos para caballero
o para dama con los mismos recursos, una refinería de petróleo podría elegir
una variedad de distintos grados de aceites y gasolinas por generar a partir del petróleo
crudo, etcétera.
En general, estos diferentes productos compiten por el uso de los recursos disponibles
(esto es, un incremento en la cantidad de un producto debe acompañarse
por una disminución en las cantidades de los otros). Estas diversas cantidades están
relacionadas por una ecuación. Cuando sólo compiten dos productos, esta ecuación
puede graficarse, y su gráfica se denomina curva de transformación de productos.
EJEMPLO 4 (Curva de transformación de productos) Una empresa que fabrica
zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el proceso
de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas
por la ecuación
x 2 y 2 40x 30y 975
Dibuje la curva de transformación de productos de esta empresa.
Solución La ecuación dada tiene la forma general de la ecuación (3) y por ende su
gráfica es un círculo. Los coeficientes son
B 40, C 30 y D 975
Las coordenadas del centro del círculo son
h B 2 4 0
20 y k C 2
2 3 0
15
2
de modo que el centro está en el punto (20, 15). El radio es
r 1 2 B2 C 2 4D 1 2 (40)2 (30) 2 4(975) 40
En la figura 22 aparece la curva de transformación de productos. Obsérvese que al
y
20
r 40
10
30
20
10
0
10
20
x
10
(20, 15)
20
FIGURA 22
SECCIÓN 5-3 MÁS FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS GRÁFICAS 199