Matemáticas aplicadas

Balance después de n pagos
Balance después de (n – 1) pagos Interés – Un pago
y n
y n1
0.01y n1
– 1500
en donde el segundo término de la derecha es el interés mensual sobre el saldo insoluto,
y n1
. Esto puede escribirse así
y n
1.01y n1
1500
que tiene la misma forma general que la ecuación en diferencias del teorema 1 con
las constantes a 1.01 y b 1500. Por tanto, la solución es
b
1500
y n
ca n c(1.01) n c(1.01) n 150,000
a 1
1.0 1 1
☛ 27. En el ejemplo 10, escriba
la ecuación en diferencias, si los
pagos mensuales son de $900 y
la tasa de interés es 1 %
2
mensual.
Determine la solución general y
la solución que satisface y 24
0
Para determinar c debemos hacer n 24:
y 24
c(1.01) 24 150,000 0
y así c 150,000(1.01) 24 . Sustituyendo este valor de c en la solución anterior
para y n
, obtenemos
y n
150,000[1 (1.01) (24 n) ]
Estamos interesados en determinar la cantidad inicial del préstamo, que es el saldo
insoluto, y 0
, antes del primer pago. Haciendo n 0, obtenemos
y 0
150,000[1 (1.01) 24 ] 150,000[1 0.7875661] 31,865.08
Por tanto, el préstamo máximo que la compañía puede obtener es $31,865.08.
☛ 27
Ahora generalizaremos este ejemplo. Supongamos que el préstamo inicial es
A dólares y que se liquidará en pagos regulares de P dólares cada uno. Sea R por
ciento la tasa de interés por periodo entre los pagos. Como en el ejemplo, sea y n
el
saldo insoluto del préstamo inmediatamente después del pago n-ésimo. Entonces,
tenemos
Balance después de n pagos
Reescribimos esto como
Balance después de (n – 1) pagos Interés – Un pago
R
y n
y n1
1 00 y P
n1
y n
(1 i)y n1
– P, donde i 1
R
00
La solución de esta ecuación en diferencias se obtiene del teorema 2 con a (1
i) y b P:
Respuesta y n
1.005y n1
900,
y n
c(1.005) n 180,000,
y n
180,000[1 (1.005) (24n) ]
b
P
y n
ca n c(1 i) n c(1 i) n P a 1
(1 i) 1
i
300 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS