Matemáticas aplicadas

17. dy/dt 2y 0; y 1 cuando t 1
18. 2 dy/dt – y 0; y 3 cuando t 1 4
19. dy/dt – 2e t 0; y 7 cuando t 0
20. dy/dx xe x2 ; y 3 cuando t = 0
21. dy/dt 2y 3; y 5 cuando t 0
22. dy/dt 2y 4; y = 3 cuando t = 0
23. (Interés compuesto capitalizable en forma continua) Una
inversión inicial de $10,000 crece continuamente a una tasa
de interés nominal del 5%
a) Determine el valor de la inversión en cualquier instante t.
b) ¿Cuál es el valor de la inversión después de 8 años
c) ¿Después de cuántos años el valor de la inversión ascenderá
a $20,000
24. (Crecimiento continuo del valor de una acción) Una acción
con valor inicial de $2000 crece continuamente a una
tasa constante del 6% anual.
a) Encuentre el valor de la acción al cabo de t años.
b) ¿Después de cuánto tiempo la acción tendrá un valor de
$3000
25. (Crecimiento de la población) Suponga que la tasa de crecimiento
proporcional y′(t)/y(t) de la población de la
Tierra es una constante. La población en 1930 era de 2 mil
millones y en 1975 fue de 4 mil millones. Considerando a
1930 como t 0, determine la población y(t) de la Tierra
en el instante t. De acuerdo con este modelo, ¿cuál debió
ser la población en 1960
26. (Radiactividad) Para datar el coral y las conchas se utiliza
el torio. Su desintegración satisface la ecuación diferencial
dy/dt 9.2 10 6 y donde t está medido en años.
¿Cuál es la vida media del torio radiactivo (Véase el ejercicio
38 en la sección 6-4).
27. (Crecimiento poblacional con inmigración) Una población
tiene un tamaño inicial de 10,000 y una tasa de crecimiento
específico de 0.04 (el tiempo medido en años). Si la
población aumenta debido a la inmigración a la tasa de 100
por año, ¿cuál será el tamaño de la población después de t
años
28. Repita el ejercicio 27 en el caso cuando, debido a la
emigración, la población pierde miembros a una tasa de
150 por año.
29. (Propagación de epidemias) Una enfermedad infecciosa se
propaga lentamente a una población numerosa. Sea p(t) la
proporción de la población que ha sido expuesta a la enfermedad
en los t años de su introducción. Si p′(t) 1 5 [1
p(t)] y p(0) 0, encuentre p(t) para t 0. ¿Después de
cuántos años la proporción ha crecido a 75%
30. (Crecimiento con inmigración) Una población tiene tamaño
y(t) en el instante t. La tasa de crecimiento específico es
0.1 y debido a la inmigración, existe una captación de
población a una tasa constante de r.
a) Escriba la ecuación diferencial que es satisfecha por
y(t) y determine su solución general.
b) Determine la solución particular en el caso cuando r
100 y el tamaño inicial de la población en t 0 es
2000.
31. (Epidemias) Considere la diseminación de una enfermedad
que tiene la propiedad de que una vez que un individuo
se infecta permanece todo el tiempo infectado.
Aunque una pequeña proporción de la población esté
infectada con la enfermedad, su diseminación puede ser
modelada razonablemente mediante la ecuación diferencial
dy/dt ky (donde y es el número de individuos infectados
al tiempo t). Obtenga y como función de t suponiendo
que en el tiempo t 0 hay 587 individuos infectados y en
el tiempo t 1 año hay 831 individuos infectados en la
población.
*32. (Flujo de contaminación) Un lago pequeño con un volumen
de 10 6 metros cúbicos ha sido contaminado accidentalmente
por 10,000 kilogramos de una sustancia muy
tóxica. Un río entra y después sale del lago a razón de
20,000 metros cúbicos por hora. Suponiendo que la entrada
del río contiene agua fresca y que la sustancia tóxica se
está mezclando en todo el lago, escriba una ecuación diferencial
para la masa del contaminante en el lago. Encuentre
la solución y calcule el número de horas para que la masa
del contaminante decrezca a 100 kilogramos.
*33. (Contaminación) El lago en el ejercicio 32 se recobra
eventualmente del accidente por contaminación, pero después
alguien construye una fábrica río arriba y empieza a
arrojar mercurio en el río a razón de 0.01 kilogramos por
hora. Escriba una ecuación diferencial para la masa del
mercurio en el lago y encuentre su solución. ¿Cuánto mercurio
contendrá el lago finalmente
*34. (Medicina) Se inyecta una sustancia en el torrente sanguíneo
de un paciente a razón de R miligramos por minuto y
ésta se absorbe del torrente sanguíneo a razón kM, donde k
es una constante y M es el número de miligramos en el torrente
sanguíneo en el tiempo t. Escriba una ecuación diferencial
para M(t) y encuentre la solución, suponiendo que
la inyección empieza en t 0. ¿Cuál es la cantidad límite
de la sustancia en el torrente sanguíneo
SECCIÓN 16-6 ECUACIONES DIFERENCIALES: UNA INTRODUCCIÓN 697