Matemáticas aplicadas

10. Demuestre que si v f(x y, y z, z x), entonces 19. F(u, v) 2u 4 u 2 3v 2 11
∂v ∂v ∂v
t 8
0
20. G(s, t) 2s2 t
3
∂x ∂y ∂z
s 3
11. (Costo de una lata) En el problema 27 de la sección 17.1,
se determinó que el costo de una lata cilíndrica de radio r
y altura h tiene un costo C(r, h) 4r(r h), si el material
con que se produce tiene un costo de $2 por unidad de
área. ¿Qué interpretación tiene la curva de nivel C(r, h)
100, para r y h positivos
12. (Demandas marginales) Suponga que las funciones de demanda
para los dos productos A y B son
x A
30 pA 5p B
; x B
40 3p A
6p B
Determine las cuatro funciones de demanda marginal e
investigue si los productos A y B son competitivos o complementarios.
13. (Elasticidad) La demanda x a
de un producto A está dada
por
x A
50p A
p B
en donde p A
es el precio por unidad de A y p B
es el precio
por unidad del producto relacionado B.
∂x
a) Demuestre que p A
∂x
A
p A ∂pA B ∂pB x A
b) Calcule las elasticidades de la demanda pA
y pB
y evalúe
su suma.
14. (Utilidades marginales) La utilidad por acre de cierto cultivo
de hortaliza se determina que está dada por
P 30L 6S 25F 2L 2 2S 2 F 2 3SF
en donde L es el costo de la mano de obra, S es el costo de
la siembra y F es el costo de fertilizantes. Determine
∂P/∂L, ∂P/∂S y ∂P/∂F. Evalúe cada una cuando L 5, S
1 y F 1.
15. (Costos marginales) Un monopolista determina que las
funciones de demanda de sus dos productos A y B dadas
por
x A
3 p A
0.2p B
, x B
5 0.3p A
2p B
La función conjunta de costo está dada por
C x 2 A x2 B x A x B
Calcule ∂C/∂p A
y ∂C/∂p B
. ¿Cuál es el significado de estas
derivadas
(16-20) Determine los máximos y mínimos locales de las siguientes
funciones.
16. f(x, y) 10 3xy 6y 2x 2 4y 2
v 2
17. g(u, v) u 2 2 u 10 4
2 4
18. h(s, t) st 20
s t
21. (Fisiología) Cuando hay viento, en un día frío, una persona
puede sentir más frío que cuando el viento está en calma;
esto se debe a que la razón de la pérdida del calor es
una función de la temperatura y de la velocidad del viento.
La ecuación
H (10.45 10w w)(33 t)
modela la razón de pérdida de calor H (en kilocalorías por
metro cuadrado por hora) cuando la temperatura del aire es
t (en grados centígrados) y la velocidad del viento es w (en
metros por segundo).
a) Evaluar H cuando t 0 y w 5
b) Calcular ∂H/∂w y ∂H/∂t para t 0 y w 5
c) Interprete el resultado de la parte anterior
d) Cuando t 0 y w 5, ¿qué tiene más influencia en H:
un cambio de 1 m/s en la velocidad del viento o 1°C en
la temperatura
22. (Uso óptimo de mano de obra y publicidad) Las utilidades
anuales (en dólares) de una empresa prestadora de servicios
están dadas por
P(x, y) 200x 300y 2xy x 2 2y 2 5000
donde x es el número de trabajadores y y el número de veces
que la empresa se promociona.
a) Determine los valores de x y y que maximizan las utilidades
anuales de la empresa. ¿Cuáles son las utilidades
anuales máximas
b) Los trabajadores reciben un salario de $15,000 anuales
y el costo de publicidad es de $1,000 por cada anuncio.
El capital que se trabaja es tal que un gasto de $400,000
se realiza en mano de obra y publicidad. Determine los
valores de x y y que generan la utilidad máxima.
*23. (Uso óptimo de mano de obra y capital) Por medio de L
unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa
puede elaborar P(L, K) unidades de su producto. Los
costos unitarios de mano de obra y de capital son p y q dólares,
respectivamente. La empresa tiene una restricción en
el presupuesto de C dólares.
a) Usando el método de multiplicadores de Lagrange, demuestre
que en el nivel de producción máximo, la razón
de las productividades marginales de mano de obra y de
capital es igual a la razón de sus costos unitarios.
b) Compruebe que la empresa puede elaborar unidades
extra de su producto, si se dispone de $1 extra en este
nivel de producción máximo, en donde es el multiplicador
de Lagrange.
*24. (Uso óptimo de mano de obra y capital) Cuando se emplean
L unidades de mano de obra y K unidades de capital,
768 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES