Matemáticas aplicadas

gráfica con coordenadas x aproximándose a 3, entonces los puntos mismos deben
acercarse al punto (3, 6), a pesar de que este punto no pertenece a la gráfica. Así, a
pesar de que f(3) no existe, el límite de f(x) cuando x → 3 existe y es igual a 6.
En el primero de estos dos ejemplos, tenemos una función f(x) 2x 3 para
la cual el límite cuando x→1 existe y es igual al valor de la función en x 1. En
el segundo ejemplo, tenemos una función f(x) (x 2 9)/(x 3) tal que el límite
cuando x → 3 existe, pero este límite no es igual a f(3) (de hecho, f(3) no existe en
este caso). La primera función se dice que es continua en x 1; la segunda función
es discontinua en x 3. Informalmente, una función es continua en x c si su gráfica
pasa a través del valor de x sin un salto o ruptura. Por ejemplo, la gráfica de la
figura 5 no pasa por el valor de x 3 sin una ruptura porque el punto (3, 6) no forma
parte de la gráfica. Más formalmente, tenemos la siguiente definición:
8
y
6
4
(0, 3)
(2, 5)
P 3
P 2
P 1
P 4
2
2 0 2 4 6 x
FIGURA 5
DEFINICIÓN Una función f(x) es continua en x c si tanto f(c) como lím f(x)
x→c
existen y son iguales.
Analizaremos funciones continuas y discontinuas con mayor detalle en la sección
11-6.
El cálculo de los valores límites de funciones en casos más complicados
descansa en varios teoremas que se refieren a límites. Establecemos ahora estos teoremas
e ilustraremos su aplicación con varios ejemplos, pero no daremos demostraciones
de ellos.
TEOREMA 1 Si m, b y c son tres constantes cualesquiera, entonces,
lím (mx b) mc b
x→c
454 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA