Matemáticas aplicadas

La solución del ejemplo 1 es sólo una forma de la solución general. Podemos,
en realidad, resolver para cualesquiera dos de las variables en términos de la tercera.
Por ejemplo, si deseamos resolver para x y z en términos de y, reducimos la matriz
a una forma que contenga una matriz identidad de segundo orden en las columnas
correspondientes a x y z.
El ejemplo 2 ilustra una situación diferente en que puede ocurrir un número
infinito de soluciones.
EJEMPLO 2 Resuelva el sistema siguiente de cuatro ecuaciones:
x y z 3t 5
2x 2y z 3t 2
x y 2z 3t 4
3x 3y z 3t 3
Solución La matriz aumentada de este sistema es
1 1 1 1 5 R 2
2R 1
1 1 1 1 5
2 2 1 3 2 R 3
R 1
0 0 1 5 8
1 1 2 1 4 R 4
3R 1 0 0 3 0 9
3 3 1 3 3
⎯⎯⎯→
0 0 2 6 12
En esta etapa, observemos que la segunda columna sólo contiene ceros debajo
del primer renglón. Así que, es imposible obtener un 1 en la segunda posición de
esa columna sin alterar los ceros de la primera columna. En esta clase de situación,
lo que debemos hacer es olvidarnos de la segunda columna y pasar a la tercera. La
sucesión de operaciones entre renglones (1)R 2
seguida por R 1
R 2
,R 3
3R 2
y R 4
2R 2
da la matriz en la siguiente forma:
0 0 1 5 8
0 0 3 3(1) 0 3(5) 9 3(8)
0 0 2 2(1) 6 2(5) 12 2(8)
1 1 1 1 1 (5) 5 8
1 1 0 4 3
0 0 1 5 8
0 0 0 15 15
0 0 0 4 4
Al descartar la segunda columna, hemos reducido la tercera columna a la forma
que la segunda columna normalmente tendría (esto es, un 1 en el segundo elemento
y ceros en los demás lugares). Aplicando 1
1
5
R 3
, obtenemos ahora
1 1 0 4 3
0 0 1 5 8
0 0 0 1 1
0 0 0 4 4
R 1
4R 3
R 2
5R 3
R 4
4R 3
⎯⎯⎯→
1 1 0 0 1
0 0 1 0 3
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
.
344 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES