Matemáticas aplicadas

11-1 INCREMENTOS Y TASAS
El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad, cuando
ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original.
Los siguientes ejemplos ilustran tales situaciones.
1. El cambio en el costo total de operación de una planta que resultan de cada unidad
adicional producida.
2. El cambio en la demanda de cierto producto que resulta de un incremento de una
unidad (por ejemplo, $1) en el precio.
3. El cambio en el producto nacional bruto de un país con cada año que pasa.
DEFINICIÓN Sea x una variable con un primer valor x 1
y un segundo valor x 2
. Entonces,
el cambio en el valor de x, que es x 2
x l
, se denomina el incremento de x y
se denota por x.
Usamos la letra griega (delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier
variable.
x denota el cambio de la variable x
p indica el cambio de la variable p
q denota el cambio de la variable q
Sea y una variable que depende de x tal que y f(x) está definida para todo valor
de x entre x 1
y x 2
. Cuando x x 1
, y tiene el valor y 1
f(x 1
). De manera similar,
cuando x x 2
, y tiene el valor y 2
f(x 2
). Así, el incremento de y es
y y 2
y 1
f(x 2
) f(x 1
)
EJEMPLO 1 El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende
del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen
de venta q (en litros por día) está dado por
q 500(150 p)
Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en
el precio de 120¢ a 130¢ por litro.
Solución Aquí, p es la variable independiente y q la función de p. El primer valor
de p es p 1
120 y el segundo valor es p 2
130. El incremento de p es
p p 2
p 1
130 120 10
Los valores correspondientes de q son los siguientes:
442 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA