Matemáticas aplicadas

Estado 1 Estado 2
Estado 1 0.6 0.4
Estado 2 0.3 0.7
a) ¿Qué representa el elemento 0.4 de la matriz
b) Suponiendo que el sistema se encuentra al principio en
el estado 2, mediante un diagrama de árbol determine la
matriz de estado después de tres ensayos.
c) Ahora con el teorema 1 encuentre la matriz de estado de
la parte b).
d) Determine la matriz estacionaria del sistema.
19. La matriz de transición de cierto proceso de Markov es
0.3 0.5 0.2
0.1 0.6 0.3
0.4 0.1 0.5
a) Si el sistema se encuentra en un principio en el estado
1, determine la matriz de estado después de dos etapas
del proceso.
b) Si el sistema se encuentra inicialmente en el estado 2,
encuentre la matriz de estado después de dos etapas.
c) Determine la matriz estacionaria.
20. Repita el ejercicio 19 con la siguiente matriz de transición.
1
4 1 2 1 4
1 5 3 5 1 5
1
3
0
1 5 1 2
21. (Partidos políticos) Las probabilidades de que cierto país
sea gobernado por uno de tres partidos políticos X, Y o Z,
después de la próxima elección, están dadas por la matriz
de transición
X Y Z
1
2 1 3 1 6
P
1 4 3 4 0
1 5 2 5 2 5
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el partido Z gane la próxima
elección, si el partido X está ahora en el poder
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el partido X esté en el poder
después de dos elecciones, si se supone que el partido
Y se encuentra en el poder ahora
c) Si el partido Z se encuentra en el poder, ¿cuál es la probabilidad
de que estará ahí después de dos elecciones
d) Determine la matriz estacionaria. ¿Cómo puede interpretarse
esta matriz
X
Y
Z
22. (Fluctuaciones en la bolsa de valores) El valor de cierta
acción puede ir al alza, a la baja o permanecer sin cambio en
cualquier día. La probabilidad de que la acción vaya al alza
(estado 1), a la baja (estado 2) o permanezca estable (estado
3) al día siguiente están dadas en la matriz de transición:
El cambio mañana
Alza Baja Sin cambio
0.2 0.7 0.1
0.6 0.2 0.2
0.2 0.5 0.3
Alza
El cambio Baja
hoy
Sin cambio
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la acción esté a la baja
después de dos días si hoy se encuentra al alza
b) ¿Cuál es la matriz estacionaria de este proceso de Markov
23. La probabilidad de que una persona de baja estatura tenga
un hijo también de baja estatura es 0.75, mientras que la
probabilidad de que un padre alto tenga un hijo espigado es
0.60. (Se ignora la posibilidad de concebir un hijo de mediana
estatura).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre alto tenga
un nieto de baja estatura
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre de baja estatura
tenga un nieto alto
c) Encuentre la matriz estacionaria del proceso y dé su interpretación.
24. (Participación en el mercado) Hoy día, tres empresas procesadoras
de productos X, Y y Z controlan el 50, 30 y 20%
del mercado del café, respectivamente. Al mismo tiempo
las tres empresas presentan marcas de café. Con la introducción
de estas nuevas marcas en un año ocurre lo siguiente:
a) X retiene al 60% de sus consumidores y cede el 20%
a Y y otro 20% a Z.
b) Y conserva el 50% de sus consumidores y pierde el
30% con X y un 20% con Z.
c) Z retiene al 70% de sus consumidores, cede al 10% a X
y el 20% a Y.
Suponiendo que esta tendencia continúa, que proporción
del mercado tendrá cada empresa al término de 2 años
¿Qué porción del mercado tendrá cada empresa a largo
plazo
25. (Agricultura) Las granjas de cierta región pueden clasificarse
en tres tipos: agrícolas, pecuarias o mixtas. Actualmente
30% son agrícolas, 40% pecuarias y 30% mixtas. La
matriz de transición de un año al siguiente es
SECCIÓN 9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) 379