Matemáticas aplicadas

Observación Puesto que t 0 es el instante en que la operación inicia la producción,
el ingreso total R(0) en este instante es cero. En el análisis anterior, habíamos
supuesto también que el costo total C(0) era cero. En general, esto no puede ser
cierto, debido a los costos fijos (esto es, costos de apertura) que deben realizarse antes
de que la producción se inicie. Así que, en la práctica, debemos restar estos costos
fijos de la expresión anterior de P(t 1
) a fin de obtener la utilidad máxima real.
EJEMPLO 2 Las tasas de costo e ingreso de cierta operación minera están dados
por
C ′(t) 5 2t 2/3 y R ′(t) 17 t 2/3
en donde C y R se miden en millones de dólares y t en años. Determine qué tanto
deberá prolongarse la operación y encuentre la utilidad total que puede obtenerse
durante este periodo.
Solución El instante óptimo t 1
que dará como resultado la utilidad máxima es el
instante en que las dos tasas (de costo y de ingreso) son iguales. Es decir,
C′(t) R′(t)
5 2t 2/3 17 t 2/3
3t 2/3 17 5 12
t 2/3 4
t 4 3/2 8
En consecuencia, la operación deberá mantenerse por t 1
8 años. La utilidad que
puede obtenerse durante este periodo de 8 años está dada por
P 8
[R ′(t) C ′(t)] dt
0
P 8
[17 t 2/3 (5 2t 2/3 )] dt
0
P 8
0
P 96 9 5
t 5/3
5/3
(12 3t 2/3 ) dt 12t 3 8 0
(32) 38.2 (millones de dólares)
Valor presente de un ingreso continuo
En la sección 6-1 expusimos el concepto del valor presente de un ingreso futuro. En
los ejemplos como el que acabamos de dar, donde un ingreso está repartido a lo largo
de un número de años futuros, a veces es útil calcular el valor presente de este
ingreso. Esto puede ser particularmente valioso cuando una compañía tiene que elegir
entre tasas alternativas para explotar sus recursos.
Como en estos casos el ingreso se obtiene continuamente sobre un periodo, es
necesario utilizar descuentos continuos para calcular el valor presente. De acuerdo
674 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA