Matemáticas aplicadas

☛ 31. Para la función de
densidad de probabilidad f(x) 2x
en el intervalo 0 x 1, calcule
las probabilidades
a) P(0 x 1 ) 2
b) P( 1 2 x 1)
c) P( 1 2 x 1 4 )
Debido a que el evento de que la variable aleatoria X esté en su intervalo total
[a, b] es seguro que ocurra, entonces, su probabilidad es 1. Esto es,
P(a X b) b
f(x) dx 1 (3)
En otras palabras, el área total bajo la curva y f(x) entre x a y x b debe ser
igual a 1. ☛ 31
EJEMPLO 1 Dada f(x) 1 4 (2x 3). Determine la constante c de modo que f(x)
represente la f.d.p. de alguna variable aleatoria continua en el intervalo 0 x c.
Calcule también la probabilidad de que esta variable aleatoria tome un valor menor
que c/3.
a
Solución Si f(x) representa una f.d.p. en el intervalo 0 x c, debe tenerse que
1 c
f(x) dx c
1 (2x 4 3) dx 1 4
0
o c 2 3c 4 0. Por consiguiente,
0
(x2 3x)
c
0
1 4 (c2 3c)
Respuesta a) 1 4 b) 3 4 c) 1 5 6
☛ 32. Determine c tal que
f(x) 5 6 1
4
x sea una función
de densidad de probabilidad del
intervalo 0 x c
3 9 16 3 5
c
1, 4
2
2
Puesto que el valor requerido de c no puede ser negativo en el problema, el único
valor posible de c es 1. Incluso debemos verificar que f(x) 1 (2x
4
3) sea no negativa
en 0 x 1. Esto es cierto, como puede advertirse de la gráfica de f(x) que
aparece en la figura 25. Así,
f(x) 1 (2x
4
3) sobre 0 x c
representa una f.d.p. con tal que c 1
P
c
X P(0 X 1 )
3
3
1/3
f(x) dx 1/3
0
0
1 4
(2x 3) dx
1 4 (x2 3x) 0
1/3
1
4
( 1 9 1) 1 5 8 ☛ 32
Respuesta c 2
(si c 3, f(x) toma valores
negativos)
Describiremos ahora algunas distribuciones de probabilidad ampliamente utilizadas.
La primera de ellas es la distribución uniforme, que describe una situación
o experimento en que los resultados del intervalo a x b son igualmente posibles
de que ocurran. La f.d.p. en este caso es simplemente la función constante dada
por
f(x) 1
para a x b
b a
0 en cualquier otra parte
706 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA