Matemáticas aplicadas

y
y m
y 0
0
t
Por tanto, y se hace más próxima a y m
cuando t se vuelve muy grande. Esto es evidente
de la gráfica en la figura 8, la cual se nivela y aproxima a la recta horizontal
y y m
cuando t se hace grande.
Si el valor inicial y 0
de y es mucho más pequeño que el eventual valor de y m
,
entonces el tamaño de la población muestra un periodo de crecimiento para valores
pequeños de t que es aproximadamente exponencial. Sin embargo, eventualmente,
el crecimiento disminuye y al final se nivela, aproximándose a y m
cuando t se hace
muy grande. Este nivel final y m
representa el tamaño máximo que la población puede
sustentarse del medio ambiente.
EJEMPLO 10 (Crecimiento logístico poblacional) Cierta población crece de
acuerdo con la ecuación logística, con constantes y m
275 millones, C 54 y k
(ln 12)/100. La variable t se mide en años. ¿Cuál es el tamaño de la población cuando
t 0, 100 y 200
Solución Cuando t 0, el tamaño es
FIGURA 8
y 275
y 0
m 5
1 Ce 0 1 54
Sustituimos t 100 en la ecuación (1).
(millones)
y
Ahora 100k ln 12, de modo que
Por tanto,
y m
1 Ce
k(100)
e 100k e ln 12 e ln (1/12) 1
1 2
275 275
y
50 (millones)
1 54(
1
1 ( 9 2 1 2
) )
Cuando t 200,
SECCIÓN 6-4 APLICACIONES Y PROPIEDADES ADICIONALES DE LOS LOGARITMOS 255