Matemáticas aplicadas

9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ
DEFINICIÓN Sea A una matriz cuadrada n n. Entonces, una matriz B se dice
que es una inversa de A si satisface las dos ecuaciones matriciales
AB I y BA I
en donde I es la matriz identidad de tamaño n n. En otras palabras, el producto
de las matrices A y B en cualquier orden da la matriz identidad.
Es claro por la definición que B debe ser una matriz cuadrada del mismo tamaño
que A; de otra manera uno o ambos de los productos AB o BA no estarían definidos.
EJEMPLO 1 Muestra que B
2 1
1 2
es una inversa de A
3 2 1 2
3 4
Solución Con el objetivo de probar que B es una inversa de A, todo lo que necesitamos
probar es que AB I y que BA I.
1 2
AB
2 1
3 2 1 2
3 4
☛ 1. Demuestre que
B
1 1
es una inversa de
3 4
A
4
3
1
1
1(2) 2( 3 ) 1 0
2 1(1) 2( 1 ) 2
3(2) 4( 3 ) 2 3(1) 4( 1 ) 2 0 1
3 2 1 2
I
BA
2 1 1 2
3 4
2(1) 1(3) 2(2) 1(4)
3 (1) 2 1 (3) 2 3 (2) 2 1 (4) 2
I
Por consiguiente, B es una inversa de A. ☛ 1
1 0
0 1
No toda matriz cuadrada tiene una inversa. Esto se ilustra en el ejemplo 2.
EJEMPLO 2 Determine una inversa de la matriz A, si tal inversa existe, en el caso
de que
1 2
A 2 4
Solución Sea B una inversa de A. Si B existe, es una matriz cuadrada del mismo
tamaño que A y debe ser de la forma
a
B c
b
d
en donde a, b, c y d son elementos específicos.
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