Matemáticas aplicadas

La ecuación de la línea tangente se obtiene a partir de la fórmula punto-pendiente:
☛ 10. Determine la ecuación de
la recta tangente en el punto
(2, 1) en la gráfica de la relación
x 3 y 3 9
y y 1
m (x x 1
)
y ( 1 ) 2 1
4
(x 2)
y 1 x
4
1 ☛ 10
Cuando evaluamos dy/dx en una relación implícita F(x, y) 0, suponemos
que x es la variable independiente y y la dependiente. Sin embargo, dada la relación
implícita F(x, y) 0, pudimos en vez de ello considerar y como la variable independiente
con x una función de y. En tal caso, deberíamos evaluar la derivada dx/dy.
EJEMPLO 4 Dada x 2 y 2 4xy, calcule dx/dy.
Solución Aquí x es una función implícita de y. Derivamos ambos lados con respecto
a y.
d
(x 2 d
) (y 2 d
) 4 (xy)
d y d y d y
2x d x
2y 4
dy
x 1 y d x
dy
2 d x
(x 2y) 2(2x y)
dy
d x
2 x y
dy
x 2y
Considere la relación implícita x 2 y 2 4. La gráfica de esta relación es un
círculo de radio 2 y centro en (0, 0) como se muestra en la figura 2. En el ejemplo
1, calculamos que dy/dx x/y. Si dy/dx 0, entonces, x/y, 0 o x 0.
Cuando x 0, y 2. Así en esos puntos (0, 2), la pendiente dy/dx de la recta
tangente al círculo es cero y entonces la recta tangente es horizontal.
Si en el ejemplo 1 tomamos a y como la variable independiente y diferenciamos
respecto a y en lugar de x, encontramos el resultado
dx
dy
y
x
Si dx/dy 0 entonces y/x 0 o y 0. Cuando y 0, x2. Así en los puntos
(2, 0) tenemos que dx/dy 0. Pero en esos puntos las rectas tangentes son
verticales, como se muestra en la figura. Se puede generalizar este resultado de la
siguiente manera:
Respuesta y 4x 9
1. Si dy/dx 0 en un punto, entonces la recta tangente es horizontal en ese
punto.
2. Si dx/ dy 0 en un punto, entonces la recta tangente es vertical en ese
punto.
SECCIÓN 14-2 DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA 603