Matemáticas aplicadas

46. 1
e
d
d x
ln x
x
2
1 dx
47. (Cambio en el ingreso) La función de ingreso marginal de
una empresa está dada por R′(x) 12.5 0.02x. Determine
el incremento en el ingreso total de la empresa cuando
el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades.
48. (Incremento en las utilidades) El costo marginal de cierta
empresa está dado por C′(x) 15.7 0.002x, mientras
que su ingreso marginal es R′(x) 22 0.004x. Determine
el incremento en las utilidades de la empresa si las ventas
se incrementan de 500 a 600 unidades.
49. (Cambio en el ingreso) En el ejercicio 47, el nivel de ventas
primero decrece de 100 a 80 unidades y luego se incrementa
a 150 unidades. Determine el incremento global en
el ingreso total.
50. (Cambio en las utilidades) En el ejercicio 48, determine el
cambio en las utilidades si las ventas decrecen de 500 a
400 unidades.
51. (Reparación de un automóvil) Si el costo promedio de reparación
de un automóvil con t años de antigüedad es
10(6 t 0.6t 2 ) dólares por año, calcule el costo total de
reparación durante los primeros 2 años y durante el periodo
entre t 4 y t 6.
16-2 MÁS SOBRE ÁREAS
En la sección 16-1, se estableció que el área bajo la curva y f(x) acotada por las
líneas x a, x b y y 0 (el eje x) está dada por la integral definida b a
f(x) dx en
el caso en que f(x) 0 en a x b.
Consideremos ahora el caso correspondiente a la región acotada por la curva
y f(x), las líneas x a, x b y el eje x cuando f(x) 0 si a x b. Es claro
que el área en cuestión está situada por completo por debajo del eje x, como se advierte
en la figura 5.
Definamos g(x) f(x) de modo que g(x) 0 si a x b. El área acotada
por y g(x) (o y f(x)), las líneas x a, x b y el eje x se encuentra por
arriba del eje x. (Véase figura 6). Esta área, como en la última sección, está dada
por la integral definida b a
g(x) dx. Ahora
b
a
g(x) dx G(b) G(a)
en donde G(x) es la antiderivada de g(x). Pero ya que g(x) f(x), debe seguirse
que F(x) G(x) es una antiderivada de f(x). Así que, G(b) G(a) F(b)
y
y
a
b
x
y f (x)
y g (x) f (x)
0
a b x
FIGURA 5 FIGURA 6
660 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA