Matemáticas aplicadas

EJERCICIOS 17-5
(1-10) Mediante el método de multiplicadores de Lagrange,
determine los puntos críticos de f sujetos a las restricciones
dadas.
1. f(x, y) x 2 y 2 ; 2x 3y 7
2. f(x, y) x 2 y 2 3xy; 2x 3y 31
3. f(x, y) 3x 2y; x 2 y 2 13
4. f(x, y) 2x 2 3y 2 ; xy 6
5. f(x, y, z) x 2 y 2 z 2 ; 2x 3y 4z 29
6. f(x, y, z) xyz; xy yz 2zx 24 (xyz 0)
7. f(x, y, z, u) x 2 2y 2 3z 2 4u 2 ;
2x 3y 4z 6u 73
8. f(u, , w, x) 3u 2 2 2w 2 x 2 ;
3u 2w 4x 20
9. f(x, y, z) x 2 2y 2 3z 2 ; x 2y 3z 5,
2x 3y 6z 1
10. f(u, , w) u w wu;
3u 2w 13 0, 2u 3 w 0
11. (Costos de producción mínimos) El costo de producir x
modelos regulares y y modelos de lujo del producto de una
empresa está dado por la función conjunta de costo C(x, y)
x 2 1.5y 2 300. ¿Cuántas unidades de cada tipo deben
producirse para minimizar los costos totales, si la empresa
decide producir un total de 200 unidades
12. (Costos de producción mínimos) Una empresa puede elaborar
su producto en dos de sus plantas. El costo de producir
x unidades en su primera planta y y unidades en la segunda
planta está dado por la función conjunta de costo
C(x, y) x 2 2y 2 5xy 700. Si la empresa tiene una
orden de suministrar 500 unidades, ¿cuántas unidades debe
producir en cada planta con el objetivo de minimizar el
costo total
13. (Uso óptimo de capital y mano de obra) La función de
producción de una empresa es P(L, K) 80L 3/4 K 1/4 ,en
donde L y K representan el número de unidades de mano de
obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades
elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene
un costo de $60 y cada unidad de capital cuesta $200 y
la empresa dispone de $40,000 destinados a producción.
a) Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange
determine el número de unidades de mano de obra y de
capital que la empresa debe emplear para obtener una
producción máxima.
b) Demuestre que cuando la mano de obra y el capital
están en sus niveles máximos, la razón de sus productividades
marginales es igual a la razón de sus costos unitarios.
c) En este nivel máximo de producción, determine el incremento
en la producción, si se dispone de $1 adicionales
destinados a producción. Pruebe que es aproximadamente
igual al multiplicador de Lagrange.
14. (Uso óptimo de capital y mano de obra) Repita el ejercicio
13 en el caso de
P(L, K) 8003L 2 1.5K 2
Los costos unitarios de la mano de obra y del capital son
de $250 y $50 y la empresa dispone de $6750 para gastar
en producción.
15. (Uso óptimo de capital y de mano de obra) Repita el ejercicio
13 si
P(L, K) 113L 15K 3LK L 2 2K 2
y los costos unitarios de la mano de obra y del capital son
de $60 y $100, respectivamente. La empresa dispone de un
presupuesto restringido de $7200 para producción.
16. (Uso óptimo de capital y mano de obra) Repita el ejercicio
13 en el caso de que
P(L, K) 72L 30K 5LK 2L 2 3K 2
Los costos unitarios de la mano de obra y del capital son
de $80 y $150, respectivamente. El presupuesto está restringido
a $5640.
17. (Uso óptimo de capital y mano de obra) Usando L unidades
de mano de obra y K unidades de capital, una empresa
puede elaborar P unidades de su producto, en donde P(L,
K) 60L 2/3 K 1/3 . Los costos de la mano de obra y del capital
son de $64 y $108 por unidad. Suponga que la empresa
decide elaborar 2160 unidades de su producto.
a) Por medio del método de multiplicadores de Lagrange
halle el número de insumos de mano de obra y de capital
que deben emplearse con el objetivo de minimizar el
costo total.
b) Demuestre que en este nivel de producción, la razón de
costos marginales de mano de obra y de capital es igual
a la razón de sus costos unitarios.
18. (Uso óptimo de capital y mano de obra) Repita el ejercicio
17, si
P(L, K) 605(L 2 K 2 )
y los costos unitarios de mano de obra y capital son de
$200 y $100, respectivamente. La empresa decide producir
4500 unidades.
758 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES