Matemáticas aplicadas

De este ejemplo es claro que la multiplicación de matrices no es conmutativa.
Aun cuando los dos productos AB y BA estén definidos para matrices A y B dadas,
por lo regular no son iguales. (Por otra parte, la suma de matrices es conmutativa: A
B B A). Sin embargo, el producto de matrices satisface la propiedad asociativa:
☛ 9. Verifique la ley asociativa
para
A [3 4] B
2 1
3 2
C
5
2
Si A, B y C son tres matrices de tamaños m n, n p y p q, respectivamente,
entonces todos los productos AB, BC, (AB)C y A(BC) están definidos. Se
demuestra la propiedad siguiente:
(AB)C A(BC)
Ley asociativa
En tales productos, podemos por tanto omitir los paréntesis y sólo escribir ABC.La
matriz producto ABC es de tamaño m q. ☛ 9
Si A [a ij
] es una matriz cuadrada, entonces los elementos a ij
para los cuales
i j (esto es, los elementos a 11
, a 22
, a 33
, etc.) se denominan elementos de la diagonal
de la matriz.
Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los elementos de su
diagonal son iguales a 1 y todos los elementos que no están en la diagonal son iguales
a cero. Las siguientes matrices son matrices identidad de tamaño 2 2 y 3 3,
respectivamente,
1 0 0
1 0
0 1
0 1 0
0 0 1
Por lo común, la matriz identidad se denota por I cuando su tamaño se entiende
sin ambigüedad.
EJEMPLO 4 Sea
a
A c
b
d
Calcule AI e IA, en donde I denota a la matriz identidad.
Solución Tanto el producto AI como el IA están definidos si A e I son matrices
cuadradas del mismo tamaño. Puesto que A es una matriz 2 2, la matriz identidad
I también debe ser de tamaño 2 2; esto es,
Así pues
I
1 0
0 1
Respuesta
12
19
A(BC) [3 4] 112
(AB)C [18 11]
5
112
2
a
c
b
d
1 0
0 1
AI A
De manera similar,
1 0
0 1
a(1) b(0)
c(1) d(0)
a
c
b
d
a(0) b(1)
c(0) d(1)
a
c
b
d
IA A
a
c
b
d
328 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES