Matemáticas aplicadas

te restringido, pero se han encontrado varias aplicaciones subsecuentes. Algunas de
estas aplicaciones adicionales se encontrarán en los ejercicios.
La ecuación diferencial dy/dt ky se aplica a una población cuando el ambiente
no restringe su crecimiento. Sin embargo, en la mayor parte de los casos, se
alcanza una etapa en donde ya no es posible un crecimiento adicional de la población,
y el nivel del tamaño de la población se nivela en algún valor que es la
población máxima (población límite) que puede sustentarse por el ambiente dado.
Denotemos este valor máximo por m. Entonces, cualquier ecuación diferencial que
describa el crecimiento debe satisfacer la condición de que la tasa de crecimiento se
aproxima a cero conforme y se aproxima a m; esto es,
dy
dt
→ 0 cuando y → m
Además, si para alguna elección del tamaño de la población sucede que excede m,
entonces, ésta debe decrecer; esto es,
dy
dt
0 si y m
Observe que la ecuación diferencial (1) satisface estos requisitos.
También existe un requisito adicional, que cualquier modelo razonable de crecimiento
poblacional debe satisfacer. Si el tamaño de la población es muy pequeño,
entonces las restricciones impuestas por el medio ambiente tendrán un efecto insignificante,
y el crecimiento será aproximadamente exponencial. En la ecuación (1),
si y es mucho menor que m, entonces m y m, y la ecuación diferencial se transforma
en aproximadamente
dy
dt
pmy
En realidad, esto da un crecimiento poblacional aproximado y la tasa de crecimiento
específico es k pm. La ecuación logística (1) no es la única ecuación diferencial
que satisface estos requerimientos para crecimiento restringido, pero es la ecuación
más sencilla que lo hace.
Ahora pasamos a la solución de la ecuación logística. Deduciremos la solución
para constantes generales m y p, pero si tiene alguna dificultad en seguir esto,
trate de examinar primero el argumento con algunos valores particulares, tales como
m 2 y p 3. Separando las variables en (1),
1
y(m y)
dy p dt
e integrando ambos miembros,
1
y(m y)
dy p dt
Aquí, la integral del lado izquierdo puede evaluarse usando la fórmula 15 del apéndice
II. Sin embargo, en vez de esto, le mostraremos un método útil para encontrar
tales integrales (de hecho, ésta es la manera en que se dedujo la fórmula 15). El tru-
SECCIÓN 16-7 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES 701