Matemáticas aplicadas

p x dx
pf(p)
dp
f(p)
Antes de resolver algunos ejemplos, estudiemos el significado de . Supongamos
que el precio se incrementa de p a p p. Entonces, por supuesto, la cantidad
demandada cambiará, digamos a x x, con x x f( p p). Así que,
x f( p p) f( p).
El incremento en el precio es p; este incremento es una fracción p/p del
precio original. También podemos decir que el incremento porcentual en el precio
es 100( p/p). Por ejemplo, sea el precio original por unidad p $2 y sea el nuevo
precio $2.10. Se sigue que p $0.10. Este incremento es una fracción p/p
0.10/2 0.05 del precio original. Multiplicando por 100, observamos que el incremento
porcentual en el precio es 100( p/p) 100(0.05) 5%.
De manera similar, el cambio x en la demanda es una fracción ( x/x) de la
demanda original. El cambio porcentual en la demanda es 100( x/x). (Obsérvese
que con un incremento en el precio, la demanda en realidad decrece, de modo que
este cambio porcentual en la demanda será negativo).
Consideremos la razón de estos dos incrementos porcentuales:
Cambio porcentual en la demanda
Cambio porcentual en el precio
Comparando esto con la definición de , advertimos que
p
lím
p→0 x
Así, la elasticidad de la demanda es igual al valor límite de la razón de cambio porcentual
en la demanda al cambio porcentual en el precio cuando el cambio en el precio
tiende a cero.
Cuando el cambio en el precio es pequeño, la razón x/p de los dos incrementos
es aproximadamente igual a la derivada dx/dp. En consecuencia, si p es
pequeño,
p
x
p
x
x
p
dx
dp
p
x
dx
dp
100(x/x)
100( p/ p)
x
p
p
x
x
p
y así la razón del cambio porcentual en la demanda al cambio porcentual en el precio
es casi igual a . En forma alternativa, podemos decir que cuando el cambio en
el precio es pequeño,
Cambio porcentual en la demanda η(Cambio porcentual en el precio)
Por ejemplo, si 2% de incremento en el precio provoca que la demanda disminuya
en 3%, se sigue que la elasticidad de la demanda es casi igual a (3)/(2)
1.5. O bien, si la elasticidad de la demanda es 0.5, entonces un incremento del
4% en el precio conducirá a un cambio en la demanda de aproximadamente
(0.5)(4%) 2%.
SECCIÓN 14-3 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Y ELASTICIDAD 611