Matemáticas aplicadas

16-1 ÁREAS BAJO CURVAS
En esta sección y en las siguientes, nos ocuparemos del cálculo de áreas de regiones
que tienen fronteras curveadas. Éstas pueden evaluarse usando las integrales definidas.
DEFINICIÓN Sea f(x) una función con una antiderivada que denotaremos por
F(x). Sean a y b dos números reales tales que f(x) y F(x) existen para todos los valores
de x en el intervalo cerrado con puntos extremos a y b. Entonces, la integral
definida de f(x) de x a a x b se denota por b a
f(x)dx y se define por
a
b
f(x)dx = F(b) F(a)
Los números a y b se denominan los límites de integración, a es el límite inferior
y b es el límite superior. Por lo regular a b, pero esto no es esencial.
Cuando evaluamos una integral definida, por conveniencia se acostumbra
utilizar unos paréntesis rectangulares grandes en el lado derecho, de la siguiente
manera:
b
a
f(x)dx F(x)
b
a
F(b) F(a)
Leemos esto como la integral definida de f(x) de x a a x b es F(x) en b menos
F(x) en a. La notación de paréntesis que aparece enmedio significa que la función
dentro de ellos debe evaluarse en los dos valores del argumento que aparecen después
de los paréntesis. La diferencia entre estos dos valores de la función se toma
en el siguiente orden: el valor en el argumento superior menos el valor en el argumento
inferior.
Al evaluar integrales definidas, omitimos la constante de integración de la antiderivada
de f(x), porque esta constante de integración se cancela en la respuesta
final. Sea F(x) C cualquier antiderivada de f(x), en donde C es la constante de integración.
Luego, por la definición anterior
b
a
f(x)dx F(x) C
b
y C ha desaparecido de la respuesta.
a
[F(b) C] [F(a) C] F(b) F(a)
EJEMPLO 1 Evalúe las siguientes integrales definidas:
a) b
x 4 dx b) 3
1 t dt
a
1
c) 2 e 3x dx
0
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