Matemáticas aplicadas

Solución La matriz aumentada de este sistema es
2 3 4 13
1 1 2 4
3 5 l 4
Nuestro propósito es aplicar operaciones entre renglones a esta matriz hasta
que obtengamos su forma reducida, esto es, hasta que las tres primeras columnas
formen una matriz identidad. Por lo general, el mejor método es tratar las columnas
una por una, cambiando los elementos de la diagonal principal a 1 y haciendo
que los demás elementos de las columnas sean cero. En la primera columna de nuestra
matriz, el primer elemento es 2. Con el objetivo de que este elemento se transforme
en 1, podríamos dividir R 1
entre 2 o, alternativamente, intercambiar R 1
y R 2
. Si aplicamos
1 R 2 1
, de inmediato introducimos fracciones, mientras que si intercambiamos
R 1
y R 2
(esto es, aplicamos R 1
↔ R 2
), nos evitamos las fracciones (o por lo menos al
principio). Por consiguiente, es preferible aplicar R 1
↔ R 2
y obtener
1 1 2 4
2 3 4 13
3 5 l 4
Ya que obtuvimos un elemento diagonal de 1 en la primera columna, usamos
el primer renglón para transformar los demás elementos de la primera columna a cero.
Primero, la operación R 2
2R 1
coloca un cero en el segundo elemento:
1 1 2
4
1 1 2 4
2 2(1) 3 2(1) 4 2(2) 13 2(4) 0 5 0 5
Entonces, la operación R 3
3R 1
hace cero al tercer elemento:
1 1 2 4
1 1 2 4
0 5 0 5 0 5 0 5
Hemos reducido la primera columna a la forma requerida (esto es, a la primera
columna de la matriz identidad). Ahora resolvemos sobre la segunda columna. En
esta columna, debemos tener 1 en el segundo renglón y cero en el primero y tercer
renglones. Mientras logramos este propósito, debemos tener cuidado en no modificar
la primera columna. (Esto significa, por ejemplo, que no podemos sumar 6 veces el
primer renglón al segundo, porque esto modificaría los elementos de la primera
columna.) Hay muchas maneras de colocar un 1 en el segundo elemento de la segunda
columna. Por ejemplo, podemos aplicar 1 R o R 3R 5 2 2 3
. La aplicación de
es más simple en este caso; nos lleva a la siguiente matriz:
1 5 R 2
3 5 1 4
3 3(1) 5 3(1) l 3(2)
4 3(4)
1 1 2 4
0 1 0 1
0 2 7 16
3 5 l
4
0 2 7
16
338 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES