Matemáticas aplicadas

A A(t t) – A(t) rA(t) t
en donde r R/100. Ahora, suponga que una cantidad adicional I se invierte cada
año en la cuenta en montos iguales, justo antes de cada composición. Entonces, cada
inversión adicional es I n I t de modo que el incremento en el valor de la
cuenta es
Así,
A Interés durante t Nueva inversión durante t
A rA(t)t I t
A
t
rA I
La composición continua corresponde al límite cuando n → q, que significa t →
0. En este límite, la ecuación anterior se transforma en la ecuación diferencial
dA
dt
rA I
que es exactamente del tipo que hemos estado estudiando.
Una aplicación mucho más importante de la ecuación diferencial (3) es al crecimiento
poblacional. La ecuación diferencial dy/dt = kt que corresponde al caso
especial b 0, puede aplicarse en muchos casos en donde una población aumenta
en un ambiente que no pone restricción sobre su crecimiento. La constante k se denomina
tasa de crecimiento específico de la población. La ecuación diferencial
establece que la tasa de crecimiento natural es proporcional al tamaño de la población.
Su solución es una función exponencial de crecimiento en la variable t.
La ecuación más general dy/dt ky b puede utilizarse para poblaciones
que se desarrollan no sólo a través de su propio crecimiento natural sino también como
resultado de una inmigración constante de miembros del exterior. El lado
izquierdo de la ecuación diferencial proporciona la tasa total de crecimiento del tamaño
de la población y, el primer término de la derecha es la contribución debida a
la tasa de crecimiento del desarrollo natural, mientras que el segundo término, b, es la
tasa de crecimiento debida a la inmigración. Si la tasa de inmigración es constante, podemos
utilizar el método desarrollado anteriormente para encontrar la solución.
El caso de una población que pierde miembros a través de la emigración es similar:
la única diferencia es que la constante b se vuelve negativa, con –b como la
tasa de emigración. Sin embargo, tal vez el caso más importante es el de una población
que pierde miembros como resultado de la caza o recolección (cosecha). Tales
ejemplos son fundamentales para la conservación de reservas de ciertas especies que
se recolectan para el consumo humano.
EJEMPLO 7 Cierta especie de pez tiene un tamaño inicial de población de 100 unidades,
cada unidad es de 1 millón de peces, y tiene una tasa de crecimiento natural
específico de 0.25, con el tiempo medido en años. La población será recolectada a
SECCIÓN 16-6 ECUACIONES DIFERENCIALES: UNA INTRODUCCIÓN 695