Matemáticas aplicadas

y
20
(2, 17)
(0, 1)
10
(1, 12)
(3, 10)
(3.5, 0)
1 0 1 2 3 x
1 x 3
10
20
FIGURA 28
EJEMPLO 2 (Costo mínimo) Tiene que construirse una cisterna subterránea con la
finalidad de albergar 100 pies cúbicos de desechos radiactivos. La cisterna tendrá
forma cilíndrica. La base circular y la cara lateral, todos bajo tierra, tienen un costo
de $100 por pie cuadrado y la tapa, al nivel del suelo tiene un costo de $300 por pie
cuadrado debido a la necesidad de protección. Más aún, la profundidad del tanque
no puede exceder los 6 pies porque una capa de dura roca está por debajo de la superficie,
lo que incrementaría el costo de la excavación enormemente si se penetrara.
Por último, el radio del tanque no puede exceder 4 pies por limitaciones de espacio.
¿Qué dimensiones del tanque hacen del costo un mínimo
Solución Sea el radio de r pies y la profundidad de x pies. (Véase la figura 29). Se
sigue que el volumen es r 2 x, que debe ser igual a los 100 pies cúbicos requeridos:
r 2 x 100 (1)
El área de la cara vertical es 2rx y la correspondiente a la base es r 2 , y todas éstas
tienen un costo de $100 por pie cuadrado. De modo que
Costo (en dólares) de la base y la cara lateral (2rx r 2 )(100)
r
x
FIGURA 29
572 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS