Matemáticas aplicadas

Es intuitivamente claro que tendremos una mejor aproximación incrementando el
número de subintervalos n.
EJEMPLO 1 Encuentre el valor aproximado de 3
e x2 dx usando la regla del trapecio
con n
0
6.
Solución Aquí a 0 y b 3, así que
b a 3 0
h 0.5
n 6
Entonces los extremos de los seis subintervalos son x 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 y 3, y
los valores correspondientes de y e x2 , están dados en la tabla 1. Entonces, por la
regla del trapecio tenemos
h
e x2 dx [(y 1
y 7
) 2(y 2
y 3
y 4
y 5
y 6
)]
2
3
0
☛ 21. Utilice la regla del trapecio
para aproximar 5
x 2 dx utilizando
a) 5 subintervalos
b) 10 subintervalos.
¿Cuál es el valor exacto
0
0.5
[(1 0.0001) 2(0.7788 0.3679
2
0.1054 0.0183 0.0019)]
0.8862 ☛ 21
TABLA 1
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y e 0 e 0.25 e 1 e 2.25 e 4 e 6.25 e 9
1 0.7788 0.3679 0.1054 0.0183 0.0019 0.0001
y 1
y 2
y 3
y 4
y 5
y 6
y 7
Regla de Simpson
En la evaluación aproximada mediante la regla del trapecio de b
f(x) dx, aproximamos
la curva y f(x) por un conjunto de segmentos de rectas. En la regla de Simp-
a
son aproximamos la curva y f(x) por un conjunto de arcos parabólicos. La fórmula
resultante da una mejor aproximación a la integral que la regla del trapecio con el
mismo número n de subintervalos.
Regla de Simpson (enunciado)
Si y f(x) es continua en el intervalo a x b, entonces,
b h
f(x) dx [y 1
y n+1
2(y 3
y 5
. . . )4(y 2
y 4
. . . )]
a
3
donde n es par h (b a)/n, y y 1
,y 2
,y 3
, . . . , y n + 1
son los valores de y f(x)
en x a, a h, a 2h, . . . , a nh b.
Respuesta a) 42.5; b) 41.875
(valor exacto = 41.666. . .)
La demostración de esta regla es complicada y se omite.
SECCIÓN 16-5 INTEGRACIÓN NUMÉRICA (SECCIÓN OPCIONAL) 685