Matemáticas aplicadas

☛ 13. El decimal recurrente
0.51515151. . . puede expresarse
como la suma de una PG infinita
como
0.51
1
1 1 00 1
100 2
1
1 00 3
Evalúe esta suma y de aquí exprese
el decimal como una fracción. De
forma análoga exprese los decimales
1.222222. . . y 0.279279279. . .
como fracciones
Respuesta 1 3 7 3 , 1 9 1 , 1
3
1
1
1
está dada por
a ar ar 2
a
S , con tal de que 1 r 1 (3)
1 r
En matemáticas financieras, las PG infinitas ocurren en algunas situaciones
que incluyen perpetuidad. Un ejemplo sería una anualidad que continúa de manera
indefinida.
EJEMPLO 6 Calcule la suma de la sucesión infinita 1 1 3 1 9 2 1 7
Solución La sucesión dada es una PG con a 1 y r 1 .
3
La suma está dada por
a
S
1
1 3 1 r
4 ☛ 13
1
1
4 ( 3
) 3
EJERCICIOS 7-2
(1-4) Encuentre el término específico.
1. El noveno término de la sucesión 3, 6, 12, 24, . . .
2. El sexto término de la sucesión 3, 3,33,9, ...
3. El n-ésimo de la sucesión 2 9 , 1 3 , 1 ,
2
...
4. El p-ésimo término de la sucesión 2 5 , 1 2 , 5 ,
8
...
(5-6) ¿Qué lugar ocupa en la sucesión el último término dado
5. 96,48,24,12, ...; 1
3
6
6. 18,12,8, ...; 5 7 1 2 2 9
7. El segundo término de una PG es 24 y el quinto es 81. Determine
la sucesión y el décimo término.
8. Los términos quinto, octavo y undécimo de una PG son x,
y y z, respectivamente. Demuestre que y 2 xz.
9. Si x 9, x 6 y 4 son los primeros tres términos de una
PG, determine x.
10. En una PG, si el primer términos es a, la razón común r y
el último término K, demuestre que el número de términos
en la PG está dado por
n 1 ln K ln a
ln r
(11-17) Calcule la suma indicada de las siguientes sucesiones.
11. 2 6 18 54 ; 12 términos
12. 3 3 33 9 ; 10 términos
13. 1 2 4 8 ; n términos
14. 3 1.5 0.75 0.375 ; p términos
15. 1 1 2 1 4 1 8
16. 1 1 3 1 9 2 1 7
1 1
17. 2
2 22
18. Si y 1 x x 2 x 3 (1 x 1), demuestre que
x y 1
y
19. Si v 1/(1 i), pruebe que
v v 2 v 3 1 i
20. Pruebe que 9 1/3 9 1/9 9 1/27 3
21. Evalúe 4 1/3 4 1/9 4 1/27 4 1/81
22. Exprese 0.85555. . . como una fracción. [Sugerencia: Escriba
0.85555 0.8 0.05(1 0.1 0.01 )].
SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 279