Matemáticas aplicadas

*35. (Crecimiento de capital) Una inversión crece de acuerdo
con la ecuación diferencial
dA
dt
rA I(t)
donde 100r es la tasa de interés nominal e I(t) es la tasa de
inversión del capital nuevo. Resuelva esta ecuación cuando
I(t) es constante y A(0) 0. Compare su respuesta con el
ejercicio 24 de la sección 16-3.
*38. (Precio en un mercado no equilibrado) Para cierto bien las
ecuaciones de oferta y de demanda son las siguientes.
D: p 2x D
25
S: p 3x S
5
Supongamos que si el mercado no está en equilibrio (x D
x S
), entonces, el precio cambia en razón proporcional al exceso
de demanda sobre la oferta:
dp
dt
k(x D
x S
)
Sustituya x D
y x S
y resuelva la ecuación diferencial resultante
para p(t). Pruebe que no importa cuál sea el precio
inicial, el mercado se aproxima eventualmente al equilibrio
en p 17.
37. (Ley de enfriamiento de Newton) La temperatura T de un
cuerpo que se está enfriando cambia de acuerdo con la ecuación
diferencial dT/dt k(T s
T), donde T s
es la temperatura
ambiente. Encuentre una fórmula para T(t) en el
caso cuando T s
es constante y T(0) T 0
.
*38. (Utilidad y publicidad) Suponga que las utilidades, P, de
una compañía como función del gasto, A, en publicidad satisface
la ecuación diferencial
dP
dA
k(C A)
en donde k y C son constantes positivas. Considerando el
signo de dp/dA para A C y para A C, proporcione el significado
de la constante C. Resuelva la ecuación diferencial
para P(A) dado que P(0) P 0
. Si P 0
100, P(100)
1100, P(200) 1600, calcule el gasto óptimo en publicidad.
16-7 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES
☛ 28. ¿Son separables las
ecuaciones diferenciales
siguientes
a) xy d y
y 1
dx
b) d y
x y
dx
c) d y
2y xy
dx
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es separable si puede expresarse
en la forma
dy
dt
f(y)g(t)
Esto es, el lado derecho es el producto de una función de y por una función de t.
☛ 28
Una ecuación separable puede resolverse moviendo todos los términos que incluyan
y a la izquierda (dividiendo entre f(y)) y moviendo todos los términos que
incluyan t a la derecha (multiplicando por dt):
1
f(y)
dy g(t) dt
Las variables se dice que se han separado. Ahora se pueden integrar ambos miembros:
1
f( y)
dy g(t) dt
Respuesta a) Sí b) no c) sí.
En la práctica, estas integrales pueden ser difíciles de integrar, o incluso imposible
de evaluar, pero aparte de esta dificultad, siempre podemos resolver de esta forma
una ecuación separable.
Reconocerá que éste es precisamente el método utilizado en la sección 16-6
para obtener la solución general de la ecuación diferencial dy/dt ky. También
698 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA