Matemáticas aplicadas

podemos utilizar este método en vez del método usado anteriormente para resolver
la ecuación dy/dt ky b. Podemos separar las variables en esta ecuación escribiéndola
como
Entonces, integrando ambos lados obtenemos
que y b k 0,
1
ky b
dy dt
1
ky b
dy dt, o suponiendo
1 k ln y b k t B
en donde B es una constante arbitraria. Resolviendo esto para y, obtenemos
☛ 29. Determine la solución
general de la ecuación diferencial
xy d y
y 1 para el caso
dx
y 1
y b k ektkB Ce ky
donde C e kB . Ésta es la misma solución que antes. Le dejamos que verifique que
esta misma forma se obtiene para la solución si y b/k 0. ☛ 29
EJEMPLO 1 Determine la solución de la ecuación diferencial
e x d y
y 2
dx
que satisface la condición inicial y 2 cuando x 0.
Solución Observe que aquí la variable independiente es x, no t. Podemos escribir
la ecuación diferencial dada como
1 1
dy dx o y 2 dy e x dx
y
2 e
x
en donde hemos separado todos los términos que contienen y en el lado izquierdo y
aquellos que tienen a x en el derecho. Integrando ambos miembros, obtenemos
y 2 dy e x dx
Por tanto,
1
x
y
e
C o 1 1 1
y ex C
Respuesta y ln(y 1)
ln x C, o de manera equivalente,
x(y 1)e y B
donde C es una constante de integración. Resolviendo para y obtenemos
y
1
e
x
C
e x
1 Ce
x
SECCIÓN 16-7 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES 699