Matemáticas aplicadas

y
2
1
(2, 1)
(4, 3)
1
y
0
1 2 3 4 x
0
x
1
FIGURA 9 FIGURA 10
EJEMPLO 2 Calcule los valores límites de f(x) ⏐x⏐/x cuando x tiende a 0 por
la derecha o por la izquierda.
Solución Si x 0, ⏐x⏐ x, y así
⏐x⏐
f(x) x x 1
x
La función dada tiene el valor 1 siempre que x 0 y así debemos tener el valor límite
1 cuando x tiende a 0 por la derecha:
⏐x⏐
lím 1
x→0 x
En el caso de que x 0, ⏐x⏐ x, por lo cual
⏐x⏐ x
f(x) 1
x x
☛ 22. Evalúe
lím f (x) y lím f (x) en los
x→1 x→1
siguientes casos:
a) f (x) 1 x
x 1
b) f (x)
⏐ 1 x⏐
(Por ejemplo, cuando x 6, f(6) ⏐6⏐/(6) 6/(6) 1). En consecuencia
f(x) es idénticamente igual a 1 siempre que x 0 y de ahí que
lím
x→0
⏐x⏐
x
1
La gráfica de y f(x) se aprecia en la figura 10. Obsérvese que f(x) no está definida
si x 0 y la gráfica presenta un salto de 1 a 1 al pasar la x de la izquierda
de cero a su derecha. ☛ 22
Respuesta a) No tiene límite, 0,
respectivamente; b) 1 y –1,
respectivamente.
Los ejemplos anteriores ilustran dos tipos básicos de comportamiento. En el
primer caso, sólo uno de los dos límites laterales existe. En el segundo, ambos límites
existen pero sus valores son distintos. En ambos casos, el límite bilateral relevante,
lím f(x), no existe. En el caso de una función general f(x), como se ilustra en la
x→c
figura 11, si la gráfica de f(x) tiene un salto en x c, los límites laterales difieren. Obsérvese
que lím f(x) existe si tanto lím f(x) como lím f(x) existen y son iguales.
x→c
x→c x→c
SECCIÓN 11-6 CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD (SECCIÓN OPCIONAL) 483